高一數學不等式證明知識點
高一數學不等式證明知識點
高一時數學就涉及到很多重要的考點,這些知識點一定要掌握好,因為它們關系到下面的數學學習。以下是學習啦小編為您整理的關于的相關資料,供您閱讀。
高一數學不等式證明知識點
不等式公式
如果a,b是正數,那么(a+b)/2≥(根號下ab),當且僅當a=b時,等號成立,我們稱上述不等式為基本不等式。
若a,b∈R,則a平方+b平方≥2ab或ab≤(a平方+b平方)/2.
若a,b∈R,則(a平方+b平方)/2≥[(a+b)/2]的平方
若a,b∈R※,則a+b>=2(根號ab) 或ab≤[(a+b)/2]的平方
高一數學不等式證明知識概要
不等式的證明問題,由于題型多變、方法多樣、技巧性強,加上無固定的規(guī)律可循,往往不是用一種方法就能解決的,它是多種方法的靈活運用,也是各種思想方法的集中體現,因此難度較大。解決這個問題的途徑在于熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式,靈活運用常用的證明方法。
一、要點精析
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用,比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為:①作差:考察不等式左右兩邊構成的差式,將其看作一個整體;②變形:把不等式兩邊的差進行變形,或變形為一個常數,或變形為若干個因式的積,或變形為一個或幾個平方的和等等,其中變形是求差法的關鍵,配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷:根據已知條件與上述變形結果,判斷不等式兩邊差的正負號,最后肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍:當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為:①作商:將左右兩端作商;②變形:化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關系,就是判定商大于1或小于1。應用范圍:當被證的不等式兩端含有冪、指數式時,一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎,借助不等式的性質和有關定理,經過逐步的邏輯推理,最后推出所要證明的不等式,其特點和思路是“由因導果”,從“已知”看“需知”,逐步推出“結論”。其邏輯關系為:AB1
B2 B3… BnB,即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā),分析這個不等式成立的充分條件,進而轉化為判定那個條件是否具備,其特點和思路是“執(zhí)果索因”,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關系為:BB1B1B3 …
BnA,書寫的模式是:為了證明命題B成立,只需證明命題B1為真,從而有…,這只需證明B2為真,從而又有…,……這只需證明A為真,而已知A為真,故B必為真。這種證題模式告訴我們,分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明,從正面證不好說清楚,可以從正難則反的角度考慮,即要證明不等式A>B,先假設A≤B,由題設及其它性質,推出矛盾,從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時,可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較復雜,變量較多,變量之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換,以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通,給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法:多用于條件不等式的證明,當所給條件較復雜,一個變量不易用另一個變量表示,這時可考慮三角代換,將兩個變量都有同一個參數表示。此法如果運用恰當,可溝通三角與代數的聯系,將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題,實施的三角代換方法有:①若x2+y2=1,可設x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可設x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③對于含有的不等式,由于|x|≤1,可設x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可設x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π。(2)增量換元法:在對稱式(任意交換兩個字母,代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式,考慮用增量法進行換元,其目的是通過換元達到減元,使問題化難為易,化繁為簡。如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式A
二、難點突破
1.在用商值比較法證明不等式時,要注意分母的正、負號,以確定不等號的方向。
2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面,前者執(zhí)果索因,利于思考,因為它方向明確,思路自然,易于掌握;后者是由因導果,宜于表述,因為它條理清晰,形式簡潔,適合人們的思維習慣。但是,用分析法探求證明不等式,只是一種重要的探求方式,而不是一種好的書寫形式,因為它敘述較繁,如果把“只需證明”等字眼不寫,就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式,它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時,分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式,難以入手時常用分析法探索證題的途徑,之后用綜合法形式寫出它的證明過程,以適應人們習慣的思維規(guī)律。還有的不等式證明難度較大,需一邊分析,一邊綜合,實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關系。分析的終點是綜合的起點,綜合的終點又成為進一步分析的起點。
3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”,也沒有必要要求“步步可逆”,因為這時僅需尋找充分條件,而不是充要條件。如果非要“步步可逆”,則限制了分析法解決問題的范圍,使得分析法只能使用于證明等價命題了。用分析法證明問題時,一定要恰當地用好“要證”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語。
4.反證法證明不等式時,必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾。
5.在三角換元中,由于已知條件的限制作用,可能對引入的角有一定的限制,應引起高度重視,否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點,也是難點,且要注意整體思想的應用。
6.運用放縮法證明不等式時要把握好“放縮”的尺度,即要恰當、適度,否則將達不到預期的目的,或得出錯誤的結論。另外,是分組分別放縮還是單個對應放縮,是部分放縮還是整體放縮,都要根據不等式的結構特點掌握清楚。
1、比較法(作差法)
在比較兩個實數 和 的大小時,可借助
的符號來判斷。步驟一般為:作差——變形——判斷(正號、負號、零)。變形時常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
2、分析法(逆推法)
從要證明的結論出發(fā),一步一步地推導,最后達到命題的已知條件(可明顯成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推導過程都必須可逆。
3、綜合法
證題時,從已知條件入手,經過逐步的邏輯推導,運用已知的定義、定理、公式等,最終達到要證結論,這是一種常用的方法。
例3、已知: , 同號,求證: 。
證明:因為 , 同號,所以 , ,則 ,即 。
4、作商法(作比法)
在證題時,一般在 , 均為正數時,借助 或 來判斷其大小,步驟一般為:作商——變形——判斷(大于1或小于1)。
5、反證法
先假設要證明的結論不對,由此經過合理的邏輯推導得出矛盾,從而否定假設,導出結論的正確性,達到證題的目的。
6、迭合法(降元法)
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分,分別證明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性質,使原不等式獲證。
7、放縮法(增減法、加強不等式法)
在證題過程中,根據不等式的傳遞性,常采用舍去一些正項(或負項)而使不等式的各項之和變小(或變大),或把和(或積)里的各項換以較大(或較小)的數,或在分式中擴大(或縮小)分式中的分子(或分母),從而達到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當,不要過頭。常用方法為:改變分子(分母)放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。
8、數學歸納法
對于含有 的不等式,當 取第一個值時不等式成立,如果使不等式在 時成立的假設下,還能證明不等式在 時也成立,那么肯定這個不等式對
取第一個值以后的自然數都能成立。
9、換元法
在證題過程中,以變量代換的方法,選擇適當的輔助未知數,使問題的證明達到簡化。
10、三角代換法
借助三角變換,在證題中可使某些問題變易。
高一數學不等式證明知識點相關文章: