九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷
九年級(jí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要的是大量的做題，大家要準(zhǔn)備好期末試卷來(lái)練習(xí)，下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷，希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷：
一、選擇題(每小題3分，共36分)
1.下列事件是必然事件的為( )
A.明天太陽(yáng)從西方升起
B.擲一枚硬幣，正面朝上
C.打開(kāi)電視機(jī)，正在播放“夏津新聞”
D.任意一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和等于180
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.
【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念可區(qū)別各類事件.
【解答】解：A、明天太陽(yáng)從西方升起是不可能事件，故A錯(cuò)誤;
B、擲一枚硬幣，正面朝上是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤;
C、打開(kāi)電視機(jī)，正在播放“夏津新聞”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤;
D、任意一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和等于180是必然事件，故D正確;
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
2.一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=0，x2=﹣2 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=﹣2 D.x1=0，x2=2
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：x2﹣2x=0，
x(x﹣2)=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，難度適中.
3.二次函數(shù)y= (x﹣1)2+2的圖象可由y= x2的圖象( )
A.向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到
B.向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到
C.向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到
D.向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律.
【解答】解：y= x2的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到二次函數(shù)y= (x﹣1)2+2的圖象.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減.
4.在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，則EC的長(zhǎng)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得 ，代入計(jì)算即可解答.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.
5.在⊙O中，直徑CD⊥弦AB，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.∠C= ∠BOD B.AC=AB C.∠C=∠B D.∠A=∠BOD
【考點(diǎn)】垂徑定理.
【分析】根據(jù)垂徑定理，可得BE與AE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠AOD=∠BOD，根據(jù)圓周角定理，可得∠C= ∠AOD，再根據(jù)等量代換，可得答案.
【解答】解：連接AO，如圖：
由垂徑定理，得
AE=BE.
在△AEO和△BEO中，
，
∴△AEO≌△BEO(SAS)，
∴∠AOD=∠BOD.
由圓周角定理，得
∠C= ∠AOD.
由等量代換，得
∠C= ∠BOD，故A正確.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，利用垂徑定理得出BE與AE的關(guān)系是解題關(guān)鍵，又利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理.
6.點(diǎn)P是▱ABCD邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有( )
A.0對(duì) B.1對(duì) C.2對(duì) D.3對(duì)
【考點(diǎn)】相似三角形的判定;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質(zhì)得出即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3對(duì)相似三角形.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.
7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是( )
A.a<0 B.a+b+c<0 C.b2﹣4ac>0 D.b>0
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.
【解答】解：A、拋物線開(kāi)口方向向下，則a<0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∵當(dāng)x=1時(shí)，y>0，
∴a+b+c>0，故本選項(xiàng)正確;
C、拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac>0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，則a、b異號(hào)，即b>0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定.
8.線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，4)，B(6，2)，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的 后得到線段CD，則端點(diǎn)C和D的坐標(biāo)分別為( )
A.(2，2)，(3，2) B.(2，4)，(3，1) C.(2，2)，(3，1) D.(3，1)，(2，2)
【考點(diǎn)】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)乘以 得出即可.
【解答】解：∵線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，4)，B(6，2)，
以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的 后得到線段CD，
∴端點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2，2)，(3，1).
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
9.若在“正三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形、正六邊形”這五種圖形中隨機(jī)抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對(duì)稱圖形的概率是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】概率公式;中心對(duì)稱圖形.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義得到平行四邊形、菱形和正六邊形是中心對(duì)稱圖形，于是利用概率公式可計(jì)算出抽到的圖形屬于中心對(duì)稱圖形的概率.
【解答】解：這五種圖形中，平行四邊形、菱形和正六邊形是中心對(duì)稱圖形，
所以這五種圖形中隨機(jī)抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對(duì)稱圖形的概率= .
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).也考查了中心對(duì)稱圖形.
10.AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，AB=6，AD=5，則DE的長(zhǎng)為( )
A.2.2 B.2.5 C.2 D.1.8
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);圓周角定理.
【分析】連接BD、CD，由勾股定理先求出BD的長(zhǎng)，再利用△ABD∽△BED，得出 = ，可解得DE的長(zhǎng).
【解答】解：如圖1，連接BD、CD，
，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD= = = ，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD= ，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴ ，即 ，
解得DE= .
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是得出△ABD∽△BED.
11.若函數(shù)y=mx2+(m+2)x+ m+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么m的值為( )
A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0，2或﹣2
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【專題】分類討論.
【分析】分為兩種情況：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)是一次函數(shù)，求出即可.
【解答】解：分為兩種情況：
?、佼?dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，
∵函數(shù)y=mx2+(m+2)x+ m+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=(m+2)2﹣4m( m+1)=0且m≠0，
解得：m=±2，
②當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時(shí)，m=0，
此時(shí)函數(shù)解析式是y=2x+1，和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根的判別式的應(yīng)用，用了分類討論思想，題目比較好，但是也比較容易出錯(cuò).
12.將△ABC沿著過(guò)AB中點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的A1處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為h1;還原紙片后，再將△ADE沿著過(guò)AD中點(diǎn)D1的直線折疊，使點(diǎn)A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕D1E1到BC的距離記為h2;按上述方法不斷操作下去…，經(jīng)過(guò)第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距離記為h2016，到BC的距離記為h2016.若h1=1，則h2016的值為( )
A. B.1﹣ C. D.2﹣
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題).
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=DA'=DB，從而可得∠ADA'=2∠B，結(jié)合折疊的性質(zhì)可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，繼而判斷DE∥BC，得出DE是△ABC的中位線，證得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2﹣1=1，同理h2=2﹣ ，h3=2﹣ × =2﹣ ，于是經(jīng)過(guò)第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距離hn=2﹣ ，求得結(jié)果h2016=2﹣ .
【解答】解：連接AA1.
由折疊的性質(zhì)可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又∵D是AB中點(diǎn)，
∴DA=DB，
∴DB=DA1，
∴∠BA1D=∠B，
∴∠ADA1=2∠B，
又∵∠ADA1=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1=2，
∴h1=2﹣1=1，
同理，h2=2﹣ ，h3=2﹣ × =2﹣
…
∴經(jīng)過(guò)第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距離hn=2﹣ .
∴h2016=2﹣ .
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，平行線等分線段定理，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(每小題4分，共20分)
13.方程(x+2)(x﹣3)=x+2的解是 x1=﹣2，x2=4 .
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先移項(xiàng)，再提取公因式，求出x的值即可.
【解答】解：原式可化為(x+2)(x﹣3)﹣(x+2)=0，
提取公因式得，(x+2)(x﹣4)=0，
故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4.
故答案為：x1=﹣2，x2=4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解答此題的關(guān)鍵.
14.二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的最小值是 2 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值.
【分析】把函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式的形式即可解答.
【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2﹣2x+3可化為y=(x﹣1)2+2的形式，
∴二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的最小值是2.
【點(diǎn)評(píng)】本題由于函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)較小，所以可把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即y=a(x+h)2+k的形式解答.
15.△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，且△ABC的面積等于△DEF面積的 ，則AB：DE= 2：3 .
【考點(diǎn)】位似變換.
【分析】由△ABC經(jīng)過(guò)位似變換得到△DEF，點(diǎn)O是位似中心，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面積：△DEF面積= ，得到AB：DE═2：3.
【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面積：△DEF面積=( )2= ，
∴AB：DE=2：3，
故答案為：2：3.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了位似圖形的性質(zhì).注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方.
16.A，B，C三點(diǎn)在⊙O上，且AB是⊙O的直徑，半徑OD⊥AC，垂足為F，若∠A=30°，OF=3，則BC= 6 .
【考點(diǎn)】三角形中位線定理;垂徑定理;圓周角定理;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)垂徑定理和30°的角易得圓的半徑為2OF，即可求得直徑;易得∠C為90°，那么BC等于直徑AB的一半.
【解答】解：∵OD⊥AC，垂足為F
∴△AFO是直角三角形，∠A=30°
∴OA=2OF=2×3=6
∴AB=2×6=12
又∵AB是圓的直徑，∠ACB為圓周角
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，A=30°
∴BC= AB= ×12=6.
【點(diǎn)評(píng)】本題涉及面較廣，涉及垂徑定理以及特殊角的三角函數(shù).
17.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜邊AB=2，O是AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，線段OC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓心角為90°的扇形OEF，弧EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積為 ﹣ .
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算.
【分析】連接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC，證明△OMG≌△ONH，則S四邊形OGCH=S四邊形OMCN，求得扇形FOE的面積，則陰影部分的面積即可求得.
【解答】解：連接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OC= AB=1，四邊形OMCN是正方形，OM= .
則扇形FOE的面積是： = .
∵OA=OB，∠AOB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴OC平分∠BCA，
又∵OM⊥BC，ON⊥AC，
∴OM=ON，
∵∠GOH=∠MON=90°，
∴∠GOM=∠HON，
則在△OMG和△ONH中，
，
∴△OMG≌△ONH(AAS)，
∴S四邊形OGCH=S四邊形OMCN=( )2= .
則陰影部分的面積是： ﹣ .
故答案為： ﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計(jì)算的綜合題，正確證明△OMG≌△ONH，得到S四邊形OGCH=S四邊形OMCN是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(共64分)
18.閱讀材料：如果是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，那么x1+x2=﹣ ，x1x2= ，這就是著名的韋達(dá)定理.現(xiàn)在我們利用韋達(dá)定理解決問(wèn)題：
已知m與n是方程2x2﹣6x+3=0的兩根
(1)填空：m+n= 3 ，m•n= ;
(2)計(jì)算 與m2+n2的值.
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解;
(2)先利用代數(shù)式變形得到) = ，m2+n2=(m+n)2﹣2mn，然后利用整體代入的方法計(jì)算.
【解答】解：(1)m+n=﹣ =3，mn= ;
故答案為3， ;
(2) = = =2;
m2+n2=(m+n)2﹣2mn=32﹣2× =6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí)，x1+x2=﹣ ，x1x2= .
19.為了參加中考體育測(cè)試，甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行足球傳球訓(xùn)練，球從一個(gè)人腳下隨機(jī)傳到另一個(gè)人腳下，且每位傳球人傳給其余兩人的機(jī)會(huì)是均等的，由甲開(kāi)始傳球，共傳球三次.
(1)請(qǐng)利用樹(shù)狀圖列舉出三次傳球的所有可能情況;
(2)求三次傳球后，球回到甲腳下的概率;
(3)三次傳球后，球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大?
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】(1)畫(huà)出樹(shù)狀圖，
(2)根據(jù)(1)的樹(shù)形圖，利用概率公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解;
(3)分別求出球回到甲腳下的概率和傳到乙腳下的概率，比較大小即可.
【解答】解：(1)根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：
由樹(shù)形圖可知三次傳球有8種等可能結(jié)果;
(2)由(1)可知三次傳球后，球回到甲腳下的概率= ;
(3)由(1)可知球回到甲腳下的概率= ，傳到乙腳下的概率= ，
所以球回到乙腳下的概率大.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件;樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.
20.據(jù)某市車(chē)管部門(mén)統(tǒng)計(jì)，2013年底全市汽車(chē)擁有量為150萬(wàn)輛，而截至到2015年底，全市的汽車(chē)擁有量已達(dá)216萬(wàn)輛，假定汽車(chē)擁有量年平均增長(zhǎng)率保持不變.
(1)求年平均增長(zhǎng)率;
(2)如果不加控制，該市2017年底汽車(chē)擁有量將達(dá)多少萬(wàn)輛?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)假設(shè)出平均增長(zhǎng)率為x，可以得出2013年該市汽車(chē)擁有量為150(1+x)，2015年為150(1+x)(1+x)=216，即150(1+x)2=216，進(jìn)而求出具體的值;
(2)結(jié)合上面的數(shù)據(jù)2017應(yīng)該在2015年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)，而且增長(zhǎng)率相同，同理，即為216(1+20%)2.
【解答】解：設(shè)該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x.
根據(jù)題意，得150(1+x)2=216.
解得：x=0.2或x=﹣2.2(不合題意，舍去).
∴年平均增長(zhǎng)率為20%.
(2)216(1+20%)2=311.04(萬(wàn)輛).
答：如果不加控制，該市2017年底汽車(chē)擁有量將達(dá)311.04萬(wàn)輛.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，以及增長(zhǎng)率問(wèn)題，正確表示出每一年的擁有汽車(chē)輛數(shù)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
21.在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F.
(1)求證：DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積.
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算.
【分析】(1)連接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代換得∠ODB=∠ACB，利用平行線的判定得OD∥AC，由切線的性質(zhì)得DF⊥OD，得出結(jié)論;
(2)連接OE，利用(1)的結(jié)論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論.
【解答】(1)證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切線，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC.
(2)解：連接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半徑為4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S陰影=4π﹣8.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.
22.某食品零售店為儀器廠代銷一種面包，未售出的面包可退回廠家，以統(tǒng)計(jì)銷售情況發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種面包的單價(jià)定為7角時(shí)，每天賣(mài)出160個(gè).在此基礎(chǔ)上，這種面包的單價(jià)每提高1角時(shí)，該零售店每天就會(huì)少賣(mài)出20個(gè).考慮了所有因素后該零售店每個(gè)面包的成本是5角.
設(shè)這種面包的單價(jià)為x(角)，零售店每天銷售這種面包所獲得的利潤(rùn)為y(角).
(1)用含x的代數(shù)式分別表示出每個(gè)面包的利潤(rùn)與賣(mài)出的面包個(gè)數(shù);
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)面包單價(jià)定為多少時(shí)，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)設(shè)每個(gè)面包的利潤(rùn)為(x﹣5)角.
(2)依題意可知y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)把函數(shù)關(guān)系式用配方法可解出x=10時(shí)y有最大值.
【解答】解：(1)每個(gè)面包的利潤(rùn)為(x﹣5)角
賣(mài)出的面包個(gè)數(shù)為[160﹣(x﹣7)×20])
(2)y=(x﹣5)=﹣20x2+400x﹣1500
即y=﹣20x2+400x﹣1500
(3)y=﹣20x2+400x﹣1500=﹣20(x﹣10)2+500
∴當(dāng)x=10時(shí)，y的最大值為500.
∴當(dāng)每個(gè)面包單價(jià)定為10角時(shí)，該零售店每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為500角.
【點(diǎn)評(píng)】求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法.本題難度一般.
23.在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B.
(1)求證：AC•CD=CP•BP;
(2)若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)易證∠APD=∠B=∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到 = ，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP;
(2)由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可求出BP的長(zhǎng).
【解答】解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴AB•CD=CP•BP.
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP;
(2)∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C.
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴ = .
∵AB=10，BC=12，
∴ = ，
∴BP= .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，把證明AC•CD=CP•BP轉(zhuǎn)化為證明AB•CD=CP•BP是解決第(1)小題的關(guān)鍵，證到∠BAP=∠C進(jìn)而得到△BAP∽△BCA是解決第(2)小題的關(guān)鍵.
24.二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為M.
(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)判斷△BCM的形狀，并說(shuō)明理由;
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)已知拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)B、C、M的坐標(biāo)，可求得△BCM三邊的長(zhǎng)，然后判斷這三條邊的長(zhǎng)是否符合勾股定理即可;
(3)假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn);首先連接AC，根據(jù)A、C的坐標(biāo)及(2)題所得△BDC三邊的比例關(guān)系，即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求，因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與△COA相似，那么分別過(guò)A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得OP的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解答】解：(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，
∴ ，
解得： ，
則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)△BCM為直角三角形，理由為：
對(duì)于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，﹣4)，
令x=0，得到y(tǒng)=﹣3，即C(0，﹣3)，
根據(jù)勾股定理得：BC=3 ，BM=2 ，CM= ，
∵BM2=BC2+CM2，
∴△BCM為直角三角形;
(3)若∠APC=90°，即P點(diǎn)和O點(diǎn)重合，如圖1，
連接AC，
∵∠AOC=∠MCB=90°，且 = ，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△MCB，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0).
若P點(diǎn)在y軸上，則∠PAC=90°，如圖2，過(guò)A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，
∵Rt△CAP1∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM，
∴ = ，
即 = ，
∴點(diǎn)P1(0， ).
若P點(diǎn)在x軸上，則∠PCA=90°，如圖3，過(guò)C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，
∵Rt△P2CA∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM，
∴ = ，
即 = ，AP2=10，
∴點(diǎn)P2(9，0).
∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O(0，0)，P1(0， )，P2(9，0).
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，(3)題中能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O是符合要求的P點(diǎn)，是解決此題的突破口.
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