第二學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中題
學(xué)習(xí)好了數(shù)學(xué)對(duì)我們來(lái)說(shuō)是一件非常重要的事情的哦,今天小編給大家分享的是九年級(jí)數(shù)學(xué),喜歡的來(lái)閱讀吧
九年級(jí)數(shù)學(xué)下期中檢測(cè)試卷閱讀
一、選擇題(本大題共6小題,每小題3分,共18分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))
1.點(diǎn)A(-2,5)在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上,則k的值是( )
A.10 B.5 C.-5 D.-10
2.點(diǎn)A(1,y1)、B(3,y2)是反比例函數(shù)y=9x圖象上的兩點(diǎn),則y1、y2的大小關(guān)系是( )
A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1
3.如圖,AB∥CD,AD與BC相交于點(diǎn)O.若AO=2,DO=4,BO=3,則BC的長(zhǎng)為( )
A.6 B.9 C.12 D.15
第3題圖 第5題圖 第6題圖
4.志遠(yuǎn)要在報(bào)紙上刊登廣告,一塊10cm×5cm的長(zhǎng)方形版面要付廣告費(fèi)180元,他要把該版面的邊長(zhǎng)都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍,在廣告費(fèi)單價(jià)相同的情況下,他該付廣告費(fèi)( )
A.540元 B.1080元 C.1620元 D.1800元
5.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn),連接AE,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE交AE于點(diǎn)F,則BF的長(zhǎng)為( )
A.3102 B.3105 C.105 D.355
6.如圖,P為反比例函數(shù)y=kx(k>0)在第一象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線交一次函數(shù)y=-x-4的圖象于點(diǎn)A、B.若∠AOB=135°,則k的值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)
7.已知反比例函數(shù)y=m+2x的圖象在第二、四象限,則m的取值范圍是________.
8.如圖,在△ABC中,DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,則DE的長(zhǎng)為________.
第8題圖 第9題圖
9.如圖,直線y=ax與雙曲線y=kx(x>0)交于點(diǎn)A(1,2),則不等式ax>kx的解集是________.
10.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F.若S△DEC=3,則S△BCF=________.
11.如圖,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)A、B在y軸上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,1),反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,則k的值為________.
第10題圖 第11題圖 第12題圖
12.如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為30,點(diǎn)M為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),將等邊△ABC沿過(guò)點(diǎn)M的直線折疊,使點(diǎn)A落在直線BC上的點(diǎn)D處,且BD∶DC=1∶4,折痕與直線AC交于點(diǎn)N,則AN的長(zhǎng)為________.
三、(本大題共5小題,每小題6分,共30分)
13.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(6,0),B(6,3),畫出△ABO的所有以原點(diǎn)O為位似中心的△CDO,且△CDO與△ABO的相似比為13,并寫出點(diǎn)C,D的坐標(biāo).
14.已知正比例函數(shù)y1=ax(a≠0)與反比例函數(shù)y2=kx(k≠0)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A(2,1).
(1)求a,k的值;
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖象,并根據(jù)圖象直接寫出y1>y2時(shí)x的取值范圍.
15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3).連接OA,將線段OA繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB,判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖象上,并說(shuō)明理由.
16.如圖,小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置,設(shè)法使斜邊DF保持水平,并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m,EF=0.2m,測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5m,CD=8m,則樹高AB是多少?
17.如圖,在▱ABCD中,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上,且DF=BE,EF與CD交于點(diǎn)G.
(1)求證:BD∥EF;
(2)若DGGC=23,BE=4,求EC的長(zhǎng).
四、(本大題共3小題,每小題8分,共24分)
18.如圖,點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長(zhǎng)線與BC相交于點(diǎn)F,與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.
(1)求證:△BFD∽△ABD;
(2)求證:DE=DB.
19.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為7和1,直線AB與y軸所夾銳角為60°.
(1)求線段AB的長(zhǎng);
(2)求經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式.
20.如圖,設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=3kx(k>0).
(1)若該反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y=2x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,求k的值;
(2)若該反比例函數(shù)的圖象與過(guò)點(diǎn)M(-2,0)的直線l:y=kx+b交于A,B兩點(diǎn),如圖所示,當(dāng)△ABO的面積為163時(shí),求直線l的解析式.
五、(本大題共2小題,每小題9分,共18分)
21.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CP平分∠ACB交邊AB于點(diǎn)P,點(diǎn)D在邊AC上,連接PD.
(1)如果PD∥BC,求證:AC•CD=AD•BC;
(2)如果∠BPD=135°,求證:CP2=CB•CD.
22.如圖,分別位于反比例函數(shù)y=1x,y=kx在第一象限圖象上的兩點(diǎn)A,B,與原點(diǎn)O在同一直線上,且OAOB=13.
(1)求反比例函數(shù)y=kx的表達(dá)式;
(2)過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交y=kx的圖象于點(diǎn)C,連接BC,求△ABC的面積.
六、(本大題共12分)
23.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E,M分別是線段BD,AD上的動(dòng)點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng),交邊BC于F,過(guò)M作MN⊥AF,垂足為H,交邊AB于點(diǎn)N.
(1)如圖①,若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合,求證:AF=MN;
(2)如圖②,若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以1cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
①設(shè)BF=ycm,求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;
?、诋?dāng)BN=2AN時(shí),連接FN,求FN的長(zhǎng).
參考答案與解析
1.D 2.A 3.B 4.C 5.B
6.D 解析:設(shè)一次函數(shù)y=-x-4交y軸于點(diǎn)C.如圖,作BF⊥x軸,OE⊥AB,CQ⊥AP,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)n,kn.∵直線AB的解析式為y=-x-4,PB⊥y軸,PA⊥x軸,∴∠PBA=∠PAB=45°,∴PA=PB.∵P點(diǎn)坐標(biāo)為n,kn,∴OD=CQ=n.∵當(dāng)x=0時(shí),y=-x-4=-4,∴OC=DQ=4,∴AD=AQ+DQ=n+4.GE=OE=22OC=22.同理得BG=2BF=2PD=2kn,∴BE=BG+EG=2kn+22.∵∠AOB=135°,∴∠OBE+∠OAE=45°.∵∠DAO+∠OAE=45°,∴∠DAO=∠OBE.又∵∠BEO=∠ADO=90°,∴△BOE∽△AOD,∴OEOD=BEAD,即22n=2kn+224+n,∴k=8.故選D.
7.m<-2 8.185 9.x>1
10.4 解析:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△BCF,∴EFCF=DEBC,S△DEFS△BCF=DEBC2.∵E是邊AD的中點(diǎn),∴DE=12AD=12BC,∴EFCF=DEBC=12,∴S△DEF=13S△DEC=1,S△DEFS△BCF=14,∴S△BCF=4.
11.12
12.21或65 解析:①當(dāng)點(diǎn)A落在如圖①所示的位置時(shí),∵△ACB是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°.∵∠MDC=∠B+∠BMD,∠B=∠MDN,∴∠BMD=∠NDC,∴△BMD∽△CDN.∴BDCN=DMDN=BMCD.∵DN=AN,∴BDCN=DMAN=BMCD.∵BD∶DC=1∶4,BC=30,∴DB=6,CD=24.設(shè)AN=x,則CN=30-x,∴630-x=DMx=BM24,∴DM=6x30-x,BM=14430-x.∵BM+DM=30,∴6x30-x+14430-x=30,解得x=21,∴AN=21;②當(dāng)A落在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖②,與①同理可得△BMD∽△CDN.∴BDCN=DMDN=BMCD.∵BD∶DC=1∶4,BC=30,∴DB=10,CD=40.設(shè)AN=x,則CN=x-30,∴10x-30=DMx=BM40,∴DM=10xx-30,BM=400x-30.∵BM+DM=30,∴10xx-30+400x-30=30,解得x=65,∴AN=65.綜上所述,AN的長(zhǎng)為21或65.
13.解:如圖所示,(4分)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)或(-2,-1).(6分)
14.解:(1)將A(2,1)代入正比例函數(shù)解析式得1=2a,∴a=12,∴y1=12x.將A(2,1)代入反比例函數(shù)解析式得1=k2,∴k=2,∴y2=2x.(2分)
(2)如圖所示.(4分)
由圖象可得當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍是-2
15.解:點(diǎn)B在此反比例函數(shù)的圖象上.(1分)理由如下:易知反比例函數(shù)的解析式為y=3x.(2分)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸,垂足為點(diǎn)D.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),∴OD=1,AD=3,∴OA=OD2+AD2=2,∴∠OAD=30°,∴∠AOD=60°.過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸,垂足為點(diǎn)C.∵∠AOB=30°,∴∠BOC=∠AOD-∠AOB=30°.∵OB=OA=2,∴BC=1,∴OC=OB2-BC2=3,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),∴點(diǎn)B在此反比例函數(shù)的圖象上.(6分)
16.解:由題意可得∠DEF=∠DCB,∠EDF=∠CDB,∴△DEF∽△DCB,(2分)∴DECD=EFBC,即0.48=0.2BC,∴BC=4m,∴AB=BC+AC=4+1.5=5.5(m).(5分)
答:樹高AB是5.5m.(6分)
17.(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴DF∥BE.∵DF=BE,∴四邊形BEFD是平行四邊形,∴BD∥EF.(3分)
(2)解:∵DF∥EC,∴△DFG∽△CEG,∴DGCG=DFCE.∵DF=BE=4,∴CE=DF•CGDG=4×32=6.(6分)
18.(1)證明:∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD,∴∠BAD=∠CBD.(3分)又∵∠BDF=∠ADB,∴△BFD∽△ABD.(4分)
(2)解:連接BE.∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,∴∠ABE=∠CBE.又∵∠CBD=∠BAD,∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD.(6分)∵∠BAD+∠ABE=∠BED,∠CBE+∠CBD=∠DBE,∴∠DBE=∠BED,∴DE=DB.(8分)
19.解:(1)分別過(guò)點(diǎn)A,B作AC⊥x軸,BD⊥AC,垂足分別為點(diǎn)C,D.由題意,知∠BAC=60°,AD=7-1=6,∴∠ABD=30°,∴AB=2AD=12.(4分)
(2)設(shè)過(guò)A,B兩點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=kx(k≠0),A點(diǎn)坐標(biāo)為(m,7).∵AD=6,AB=12,∴BD=AB2-AD2=63,∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(m+63,1),(6分)∴7m=k,(m+63)•1=k,解得k=73,∴經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式為y=73x.(8分)
20.解:(1)由題意得該點(diǎn)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),把(1,2)代入y=3kx,得到3k=2,∴k=23.(3分)
(2)把M(-2,0)代入y=kx+b可得b=2k,∴y=kx+2k.由y=3kx,y=kx+2k消去y得到x2+2x-3=0,解得x=-3或1,∴B(-3,-k),A(1,3k).(6分)∵△ABO的面積為163,∴12•2•3k+12•2•k=163,解得k=43,∴直線l的解析式為y=43x+83.(8分)
21.證明:(1)∵PD∥BC,∴∠PCB=∠CPD.∵CP平分∠ACB,∴∠PCB=∠PCA,∴∠CPD=∠PCA,∴PD=CD.∵PD∥BC,∴△APD∽△ABC,∴ADAC=PDBC,∴AC•PD=AD•BC,∴AC•CD=AD•BC.(4分)
(2)∵∠ACB=90°,CP平分∠ACB,∴∠PCB=∠PCA=45°.∵∠B+∠PCB+∠CPB=180°,∴∠B+∠CPB=180°-∠PCB=135°.(6分)∵∠BPD=135°,∴∠CPB+∠CPD=135°,∴∠B=∠CPD,∴△PCB∽△DCP,∴CBCP=CPCD,∴CP2=CB•CD.(9分)
22.解:(1)分別過(guò)點(diǎn)A,B作AE,BF垂直于x軸,垂足為E,F(xiàn).易證△AOE∽△BOF.∴OEOF=EAFB=OAOB=13.∵點(diǎn)A在函數(shù)y=1x的圖象上,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是m,1m,∴OEOF=mOF=13,EAFB=1mFB=13,∴OF=3m,BF=3m,即點(diǎn)B的坐標(biāo)是3m,3m.(3分)∵點(diǎn)B在y=kx的圖象上,∴3m=k3m,解得k=9,∴反比例函數(shù)y=kx的表達(dá)式是y=9x.(5分)
(2)由(1)可知Am,1m,B3m,3m.又∵已知過(guò)A作x軸的平行線交y=9x的圖象于點(diǎn)C,∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是1m.把y=1m代入y=9x,∴x=9m,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是9m,1m,∴AC=9m-m=8m.(7分)∴S△ABC=12•8m•3m-1m=8.(9分)
23.(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,∴AD=AB,∠MAN=∠ABF=90°.∵M(jìn)N⊥AF,∴∠NAH+∠ANH=90°.∵∠NMA+∠ANH=90°,∴∠NAH=∠NMA,∴△ABF≌△MAN,∴AF=MN.(4分)
(2)解:①∵四邊形ABCD為正方形,∴AD∥BF,∴∠ADE=∠FBE.∵∠AED=∠BEF,∴△EBF∽△EDA,∴BFAD=BEED.∵四邊形ABCD為正方形,∴AD=DC=CB=6cm,∴BD=62cm.∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.∴BE=2tcm,DE=(62-2t)cm,∴y6=2t62-2t,∴y=6t6-t.(8分)
?、谕?1)可得∠MAN=∠FBA=90°,∠NAH=∠NMA,∴△ABF∽△MAN,∴ANAM=BFAB.∵BN=2AN,AB=6cm,∴AN=2cm.當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí),AM=(6-t)cm.由①知BF=6t6-tcm,∴26-t=6t6-t6,∴t=2,∴BF=6×26-2=3(cm).又∵BN=2AN=4cm,∴FN=32+42=5(cm).(12分)
九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷
一.選擇題(每題3分,共30分)
1.(3分)下列函數(shù)中,是反比例函數(shù)的是( )
A.y= B.3x+2y=0 C.xy﹣ =0 D.y=
2.(3分)方程(m﹣2)x2﹣ x+ =0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍( )
A.m> B.m≤ 且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
3.(3分)函數(shù)y=ax﹣a與y= (a≠0)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( )
A. B. C. D.
4.(3分)已知點(diǎn)A(1,y1),B( ,y2),C(﹣2,y3),都在反比例y= 的圖象上,則( )
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y2
5.(3分)如圖是由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖,組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是( )
A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)
6.(3分)用2、3、4三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù),則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
7.(3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)O(0,0),A(6,0),B(0,8),以某點(diǎn)為位似中心,作出與△AOB的位似比為k的位似△CDE,則位似中心的坐標(biāo)和k的值分別為( )
A.(0,0),2 B.(2,2), C.(2,2),2 D.(1,1),
8.(3分)如圖,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與圖中△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
9.(3分)如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點(diǎn),BE⊥AC于點(diǎn),連接DF,分析下列四個(gè)結(jié)論:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四邊形CDEF= S△ABF其中正確的結(jié)論有( )
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
10.(3分)在陽(yáng)光下,一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的垂直地面的竹竿的影長(zhǎng)為0.6米,同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí),發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上,有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上,測(cè)得此影子長(zhǎng)為0.2米,一級(jí)臺(tái)階高為0.3米,如圖所示,若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為4.42米,則樹高為( )
A.6.93米 B.8米 C.11.8米 D.12米
二.填空題(每題3分,共15分)
11.(3分)反比例函數(shù)y= 位于 象限.
12.(3分)如圖是一個(gè)上下底密封紙盒的三視圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù),計(jì)算這個(gè)密封紙盒的體積 .
13.(3分)如圖,邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中,∠DAB=60°.連結(jié)對(duì)角線AC,以AC為邊作第二個(gè)菱形ACEF,使∠FAC=60°.連結(jié)AE,再以AE為邊作第三個(gè)菱形AEGH使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是 .
14.(3分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形的中心在原點(diǎn)O,且正方形的一組對(duì)邊與x軸平 行,點(diǎn)P(3a,a)是反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上與正方形的一個(gè)交點(diǎn).若圖中陰影部分的面積等于9,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為 .
15.(3分)如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,點(diǎn)E為AD中點(diǎn),點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EP,將△APE沿PE折疊得到△FPE,連接CE,CF,當(dāng)△ECF為直角三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為 .
三.解答題(共75分
16.(9分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,△ABC各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問(wèn)題:
(1)求△ABC的面積;
(2)以O(shè)為位似中心作一個(gè)與△ABC位似的△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC的位似比為 2;
(3)直接寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo).
17.(8分)若▱ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+ ﹣ =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
(1)當(dāng)m為何值時(shí),▱ABCD是矩形?求出此時(shí)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)?
(2)當(dāng)□ABCD的一條對(duì)角線AC=2時(shí),求另外一條對(duì)角線的長(zhǎng)?
18.(9分)如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),連接CP并延長(zhǎng)交AD于E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:△APD≌△CPD;
(2)求證:△APE∽△FPA;
(3)猜想:線段PC,PE,PF之間存在什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.
19.(11分)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y= 的圖象于點(diǎn)A、B,交x軸于點(diǎn)C.
(1)求m的取值范圍.
(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,﹣4),且 = ,求m的值和一次函數(shù)表達(dá)式.
(3)在(2)的條件下,連接OA,求△AOC的面積并直接寫出一次函數(shù)函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x范圍.
20.(8分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.求該幾何體的表面積.
21.(9分)如圖,是小亮晚上在廣場(chǎng)散步的示意圖,圖中線段AB表示站立在廣場(chǎng)上的小亮,線段PO表示直立在廣場(chǎng)上的燈桿,點(diǎn)P表示照明燈的位置.
(1)在小亮由B處沿BO所在的方向行走到達(dá)O處的過(guò)程中,他在地面上的影子長(zhǎng)度的變化情況為 ;
(2)請(qǐng)你在圖中畫出小亮站在AB處的影子;
(3)當(dāng)小亮離開燈桿的距 離OB=4.2m時(shí),身高(AB)為1.6m的小亮的影長(zhǎng)為1.6m,問(wèn)當(dāng)小亮離開燈桿的距離OD=6m時(shí),小亮的影長(zhǎng)是多少m?
22.(8分)現(xiàn)有兩組相同的撲克 牌,每組兩張,兩張牌的牌面數(shù)字分別是2和3,從每組牌中各隨機(jī)摸出一張牌,稱為一次試驗(yàn).
(1)小紅與小明用一次試驗(yàn)做游戲,如果摸到的牌面數(shù)字相同小紅獲勝,否則小明獲勝,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平?
(2)小麗認(rèn)為:“在一次試驗(yàn)中,兩張牌的牌面數(shù)字和可能為4、5、6三種情況,所以出現(xiàn)‘和為4’的概率是 ”,她的這種看法是否正確?說(shuō)明理由.
23.(13分)已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是過(guò)點(diǎn)A的直線,過(guò)點(diǎn)D作 BD⊥MN于點(diǎn)B,連接CB.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 如圖(1),過(guò)點(diǎn)C作 CE⊥CB,與MN交于點(diǎn)E,則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 ,BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為
(2)拓展探究 當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時(shí),BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,并給予證明.
(3)解決問(wèn)題 當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖(3)位置時(shí)(點(diǎn)C、D在直線MN兩側(cè)),若此時(shí)∠BCD=30°,BD=2時(shí),CB= .
參考答案與試題解析
一.選擇題(每題3分,共30分)
1.(3分)下列函數(shù)中,是反比例函數(shù)的是( )
A.y= B.3x+2y=0 C.xy﹣ =0 D.y=
【解答】解:A、k≠0時(shí),y= 是反比例函數(shù),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、3x+2y=0,可變形為y=﹣ x,不是反比例函數(shù),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、xy﹣ =0可變形為y= 是反比例函數(shù),故此選項(xiàng)正確;
D、y= 不是反比例函數(shù),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:C.
2.(3分)方程(m﹣2)x2﹣ x+ =0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍( )
A.m> B.m≤ 且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
【解答】解:根據(jù)題意得 ,
解得m≤ 且m≠2.
故選B.
3.(3分)函數(shù)y=ax﹣a與y= (a≠0)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、從反比例函數(shù)圖象得a>0,則對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)y=ax﹣a圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、從反比例函數(shù)圖象得a>0,則對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)y=ax﹣a圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、從反比例函數(shù)圖象得a<0,則對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)y=ax﹣a圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、從反比例函數(shù)圖象得a<0,則對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)y=ax﹣a圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,所以D選項(xiàng)正確.
故選D.
4.(3分)已知點(diǎn)A(1,y1),B( ,y2),C(﹣2,y3),都在反比例y= 的圖象上,則( )
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y2
【解答】解:∵反比例函數(shù)y=﹣ 中,k=﹣2<0,
∴此函數(shù)的圖象在二、四象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大,
∵1>0, >0,
∴A、B在第四象限,
∴y1<0,y2<0,
∵1< ,
∴y1
∵﹣2<0,
∴C在第二象限,
∴y3>0,
∴y3>y2>y1.
故選B.
5.(3分)如圖是由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖,組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是( )
A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)
【解答】解:由題中所給 出的主視圖知物體共2列,且都是最高兩層;由左視圖知共行,所以小正方體的個(gè)數(shù)最少的幾何體為:第一列第一行2個(gè)小正方體,第一列第二行2個(gè)小正方體,第二列第三行1個(gè)小正方體,其余位置沒有小正方體.即組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為:2+2+1=5個(gè).
故選A.
6.(3分)用2、3、4三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù),則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵用2,3,4三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù),等可能的結(jié) 果有:234,243,324,342,423,432;
∵排出的數(shù)是偶數(shù)的有:234、324、342、432;
∴排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為: =
7.(3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)O(0,0),A(6,0),B(0,8),以某點(diǎn)為位似中心,作出與△AOB的位似比為k的位似△CDE,則位似中心的坐標(biāo)和k的值分別為( )
A.(0,0),2 B.(2,2), C.(2,2),2 D.(1,1),
【解答】解:如圖所示:位似中心F的坐標(biāo)為:(2,2),
k的值為: = .
故選:B.
8.(3分)如圖,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與圖中△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:由勾股定理得:AB= = ,BC=2,AC= = ,
∴AC:BC:AB=1: : ,
A、三邊之比為1: :2 ,圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似;
B、三邊之比:1: : ,圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似;
C、三邊之比為 : :3,圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似;
D、三邊之比為2: : ,圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似.
故選B.
9.(3分)如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點(diǎn),BE⊥AC于點(diǎn),連接D F,分析下列四個(gè)結(jié)論:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四邊形CDEF= S△ABF其中正確的結(jié)論有( )
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
【解答】解:如圖,過(guò)D作DM∥BE交AC于N,交BC于M,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∴∠EAC=∠ACB,
∵BE⊥AC于點(diǎn)F,
∴∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正確;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴ = = ,
∵AE= AD= BC,
∴ = ,
∴CF=2AF,故②正確;
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四邊形BMDE是平行四邊形,
∴BM=DE= BC ,
∴BM=CM,CN=NF,
∵BE⊥AC于點(diǎn)F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DN垂直平分CF,
∴DF=DC,故③正確;
∵△AEF∽△CBF,
∴ = = ,
∴S△AEF= S△ABF,S△ABF= S矩形ABCD,
∴S△AEF= S矩形ABCD,
又∵S四邊形CDEF=S△ACD﹣S△AEF= S矩形ABCD﹣ S矩形ABCD= S矩形ABCD,
∴S四邊形CDEF= S△ABF,故④正確;
故選:A.
10.(3分)在陽(yáng)光下,一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的垂直地面的竹竿的影長(zhǎng)為0.6米,同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí),發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上,有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上,測(cè)得此影子長(zhǎng)為0.2米,一級(jí)臺(tái)階高為0.3米,如圖所示,若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為4.42米,則樹高為( )
A.6.93米 B.8米 C.11.8米 D.12米
【解答】解:如圖,∵ = ,
∴EH=0.3×0.6=0.18,
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8,
∵ = ,
∴AB= =8(米).
故選B.
二.填空題(每題3分,共15分)
11.(3分)反比例函數(shù)y= 位于 二、四 象限.
【解答】解:∵﹣m2﹣3<0,
∴反比例函數(shù)y= 位于二、四象限,
故答案為:二、四.
12.(3分)如圖是一個(gè)上下底密封紙盒的三視圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù),計(jì)算這個(gè)密封紙盒的體積 450 cm3 .
【解答】解:由三視圖可知這個(gè)幾何體是正六棱柱,
底面的正六邊形的邊長(zhǎng)為5,底面積=6× ×(5)2(cm2)
∴正六棱柱的體積=12×6× ×25=450 (cm3).
故答案為450 cm3
13.(3分)如圖,邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中,∠DAB=60°.連結(jié)對(duì)角線AC,以AC為邊作第二個(gè)菱形ACEF,使∠FAC=60°.連結(jié)AE,再以AE為邊作第三個(gè)菱形AEGH使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是 ( )n﹣1 .
【解答】解:連接DB,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB.AC⊥DB,
∵∠DAB=60°,
∴△ADB是等邊三角形,
∴DB= AD=1,
∴BM= ,
∴AM= ,
∴AC= ,
同理可得AE= AC=( )2,AG= AE=3=( )3,
按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為( )n﹣1,
故答案為( )n﹣1.
14.(3分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形的中心在原點(diǎn)O,且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行,點(diǎn)P(3a,a)是反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上與正方形的一個(gè)交點(diǎn).若圖中陰影部分的面積等于9,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為 y= .
【解答】解:∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴陰影部分的面積和正好為正方形面積的 ,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為b,則 b2=9,解得b=6,
∵正方形的中心在原點(diǎn)O,
∴直線AB的解析式為:x=3,
∵點(diǎn)P(3a,a)在直線AB上,
∴3a=3,解得a=1,
∴P(3,1),
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上,
∴k=3,
∴此反比例函數(shù)的解析式為:y= .
故答案為:y= .
15.(3分)如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,點(diǎn)E為AD中點(diǎn),點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EP,將△APE沿PE折疊得到△FPE,連接CE,CF,當(dāng)△ECF為直角三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為 或1 .
【解答】解:如圖所示,當(dāng)∠CFE=90°時(shí),△ECF是直角三角形,
由折疊可得,∠PFE=∠A=90°,AE=FE=DE,
∴∠CFP=180°,即點(diǎn)P,F(xiàn),C在一條直線上,
在Rt△CDE和Rt△CFE中,
,
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),
∴CF=CD=4,
設(shè)AP=FP=x,則BP=4﹣x,CP=x+4,
在Rt△BCP中,BP2+BC2=PC2,即(4﹣x)2+62=(x+4)2,
解得x= ,即AP= ;
如圖所示,當(dāng)∠CEF=90°時(shí),△ECF是直角三角形,
過(guò)F作FH⊥AB于H,作FQ⊥AD于Q,則∠FQE=∠D=90°,
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED,
∴∠FEQ=∠ECD,
∴△FEQ∽△ECD,
∴ = = ,即 = = ,
解得FQ= ,QE= ,
∴AQ=HF= ,AH= ,
設(shè)AP=FP=x,則HP= ﹣x,
∵Rt△PFH中,HP2+HF2=PF2,即( ﹣x)2+( )2=x2,
解得x=1,即AP=1.
綜上所述,AP的長(zhǎng)為1或 .
三.解答題(共75分
16.(9分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,△ABC各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問(wèn)題:
(1)求△ABC的面積;
(2)以O(shè)為位似中心作一個(gè)與△ABC位似的△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC的位似比為2;
(3)直接寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo).
【解答】解:(1)△ABC的面積=2×3﹣ ×1×1﹣ ×2×2﹣ ×1×3=2;
(2)如圖,
(3)A1 (﹣2,4),B1 (﹣4,2),C1 (0,﹣2).
17.(8分)若▱ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+ ﹣ =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
(1)當(dāng)m為何值時(shí),▱ABCD是矩形?求出此時(shí)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)?
(2)當(dāng)□ABCD的一條對(duì)角線AC=2時(shí),求另外一條對(duì)角線的長(zhǎng)?
【解答】解:(1)四邊形ABCD為矩形,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣m)2﹣4( ﹣ )=0,
即m2﹣2m+1=0,
解得 m=1,
所以當(dāng)m=1時(shí),四邊形ABCD為矩形.
把m=1代入x2﹣mx+ ﹣ =0,可得: ;
(2)把x=2代入x2﹣mx+ ﹣ =0,可得: ,
解得:m=2.5,
所以x2﹣2.5x+1=0,
解得: ,
所以BD=0.5.
18.(9分)如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),連接CP并延長(zhǎng)交AD于E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:△APD≌△CPD;
(2)求證:△APE∽△FPA;
(3)猜想:線段PC,PE,PF之間存在什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.
【解答】(1)證明:∵ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中,
,
∴△APD≌△CPD;
(2)證明:由(1)△APD≌△CPD,
得:∠PAE=∠PCD,
又由DC∥FB得:∠PFA=∠PCD
∴∠PAE=∠PFA
又∵∠APE=∠APF,
∴△APE∽△FPA
(3)解:線段PC、PE、PF之間的關(guān)系是:PC2=PE•PF,
∵△APE∽△FPA,
∴ ,
∴PA2=PE•PF,
又∵PC=PA,
∴PC2=PE•PF.
19.(11分)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y= 的圖象于點(diǎn)A、B,交x軸于點(diǎn)C.
(1)求m的取值范圍.
(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,﹣4),且 = ,求m的值和一次函數(shù)表達(dá)式.
(3)在(2)的條件下,連接OA,求△AOC的面積并直接寫出一次函數(shù)函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x范圍.
【解答】解:(1)因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y= 的圖象在第四象限,
所以4﹣2m<0,解得m>2.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,﹣4)在函數(shù)y= 圖象上,
所以﹣4=2﹣m,解得m=6
過(guò)點(diǎn)A、B分別作AM⊥OC于點(diǎn)M,BN⊥OC于點(diǎn)N,
所以∠BNC=∠AMC=90°,
又因?yàn)?ang;BCN=∠ACM,
所以△BCN∽△ACM,所以 = .
因?yàn)?= ,所以 = ,即 = .
因?yàn)锳M=4,所以BN=1.
所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是﹣1.
因?yàn)辄c(diǎn)B在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上,所以當(dāng)y=﹣1時(shí),x=8.
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8,﹣1).
因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+b的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,﹣4)、B(8,﹣1),
所解得 ,
解得 :k= ,b=﹣5
所以一次函數(shù)的解析式是y= x﹣5;
(3)由函數(shù)圖象可知不等式kx+b> 的解集為:0
S△AOC= ×5×10﹣ 5×2=20.
20.(8分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.求該幾何體的表面積.
【解答】解:2+4+2=8,
1+4+1=6,
(8×6+8×1.5+6×1.5)×2﹣π×(4÷2)2×2+π×4×1.5
=(48+12+9)×2﹣π×4×2+6π
=138﹣2π.
故該幾何體的表面積是138﹣2π.
21.(9分)如圖,是小亮晚上在廣場(chǎng)散步的示意圖,圖中線段AB表示站立在廣場(chǎng)上的小亮,線段PO表示直立在廣場(chǎng)上的燈桿,點(diǎn)P表示照明燈的位置.
(1)在小 亮由B處沿BO所在的方向行走到達(dá)O處的過(guò)程中,他在地面上的影子長(zhǎng)度的變化情況為 變短 ;
(2)請(qǐng)你在圖中畫出小亮站在AB處的影子;
(3)當(dāng)小亮離開燈桿的距離OB=4.2m時(shí),身高(AB)為1.6m的小亮的影長(zhǎng)為1.6m,問(wèn)當(dāng)小亮離開燈桿的距離OD=6m時(shí),小亮的影長(zhǎng)是多少m?
【解答】解:(1)因?yàn)楣馐茄刂本€傳播的,所以當(dāng)小亮由B處沿BO所在的方向行走到達(dá)O處的過(guò)程中,他在地面上的影子長(zhǎng)度的變化情況為變短;
(2)如圖所示,BE即為所求;
(3)先設(shè)OP=x米,則當(dāng)OB=4.2米時(shí),BE=1.6米,
∴ = ,即 = ,
∴x=5.8;
當(dāng)OD=6米時(shí),設(shè)小亮的影長(zhǎng)是y米,
∴ = ,
∴ = ,
∴y= .
即小亮的影長(zhǎng)是 米.
22.(8分)現(xiàn)有兩組相同的撲克牌,每組兩張,兩張牌的牌面數(shù)字分別是2和3,從每組牌中各隨機(jī)摸出一張牌,稱為 一次試驗(yàn).
(1)小紅與小明用一次試驗(yàn)做游戲,如果摸到的牌面數(shù)字相同小紅獲勝,否則小明獲勝,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平?
(2)小麗認(rèn)為:“在一次試驗(yàn)中,兩張牌的牌面數(shù)字和可能為4、5、6三種情況,所以出現(xiàn)‘和為4’的概率是 ”,她的這種看法是否正確?說(shuō)明理由.
【解答】解:(1)根據(jù)題意畫 樹狀圖如下:
數(shù)字相同的情況有2種,
則P(小紅獲勝)=P(數(shù)字相同)= ,
P(小明獲勝)=P(數(shù)字不同)= ,
則這個(gè)游戲公平;
(2)不正確,理由如下;
因?yàn)?ldquo;和為4”的情況只出現(xiàn)了1次,
所以和為4的概率為 ,
所以她的這種看法不正確.
23.(13分)已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是過(guò)點(diǎn)A的直線, 過(guò)點(diǎn)D作 BD⊥MN于點(diǎn)B,連接CB.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 如圖(1),過(guò)點(diǎn)C作 CE⊥CB,與MN交于點(diǎn)E,則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 BD=AE ,BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為 BD+AB= CB
(2)拓展探究 當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時(shí),BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,并給予證明.
(3)解決問(wèn)題 當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖(3)位置時(shí)(點(diǎn)C、D在直線MN兩側(cè)),若此時(shí)∠BCD=30°,BD=2時(shí),CB= ﹣ .
【解答】解:(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°﹣∠ACB,∠BCD=90°﹣∠ACB,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴在四邊形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°,
∴∠BAC+∠D=180°,
∵∠CE+∠BAC=180°,
∠CAE =∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
∴BE= CB,
∴BE=AE+AB=DB+AB,
∴BD+AB= CB;
故答案為:BD=AE,BD+AB= CB;
(2)BD﹣AB= CB;
理由:如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB交MN于點(diǎn)E,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°﹣∠AFB,∠D=90°﹣∠CFD,
∵∠AFB=∠CFD,
∴∠CAE=∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
∴BE= CB,
∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB,
∴BD﹣AB= CB;
(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB交MN于點(diǎn)E,
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°﹣∠DCE,
∠BCD=90°﹣∠DCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠CFD,
∵∠AFB=∠BFD,
∴∠CAE=∠D,
∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∵∠ECB=90°,
∴△ECB是等腰直角三角形,
∴BE= CB,
∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB,
∴AB﹣DB= CB;
∵△BCE為等腰直角三角形,
∴∠BEC=∠CBE=45°,
∵∠ABD=90°,
∴∠DBH=45°
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC,
∴△DHB是等腰直角三角形,
∴BD= BH=2,
∴BH=DH= ,
在Rt△CDH中,∠BCD=30°,DH= ,
∴CH= DH= × = ,
∴BC=CH﹣BH= ﹣ ;
故答案為: ﹣ .
九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試下冊(cè)題
一、選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)
1.(2分)如果(m﹣1)x2+3x﹣2=0是一元二次方程,則( )
A.m≠0 B.m≠1 C.m=0 D.m=1
2.(2分)下列方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是( )
A.x2+2x+4=0 B.x2+6x﹣9=0 C.x2﹣4x+4=0 D.4x2+2x+1=0
3.(2 分)下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( )
A.y=x+ B.y=3(x﹣1)2 C.y=ax2+bx+c D.y= +3x
4.(2分)已知方程x2﹣14x+48=0的兩根恰好是Rt△ABC的兩邊的長(zhǎng),則Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為( )
A.10 B.2 C.10或2 D.8
5.(2分)在一條直線上有若干個(gè)不同的點(diǎn),共組成45條線段,設(shè)共有x個(gè)點(diǎn),則下列方程正確的是( )
A.x(x﹣1)=45 B. =45 C.x(x+1)=45 D. =45
6.(2分)拋物線y=﹣2(x+1)2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(1,﹣4) B.(1,4) C.(﹣1,﹣4) D.(﹣1,4)
7.(2分)二次函數(shù)y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值為( )
A.﹣ B. C.1 D.﹣1
8.(2分)關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.k≤1 B.k<1且k≠0 C.k≤1且k≠0 D.k≥1
9.(2分)在拋物線y=﹣2x2﹣x+1上的一個(gè)點(diǎn)是( )
A.(1,0) B.(﹣2,﹣5) C.(2,﹣5) D.(﹣1,3)
10.(2分)如圖,菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°,M為AB的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在菱形的邊上從點(diǎn)B出發(fā),沿B→C→D的方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止.連接MP,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,MP 2=y,則表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為( )
A. B. C. D. ?
二、填空題(本大題共8小題,每小題2分,共16分)
11.(2分)二次函數(shù)y= (x )2+ 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,﹣2).
12.(2分)一元二次方程(x﹣2)(x+1)=2x﹣4化為一般形式是 .
13.(2分)把拋物線y=﹣ x2﹣1向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得拋物線的解析式為 .
14.(2分)方程2(x﹣3)2=x﹣3的解是 .
15.(2分)已知直線y=﹣x+1與拋物線y=x2+k一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2,則k= .
16.(2分)已知函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+1,當(dāng)x 時(shí),y隨x的增大而增大.
17.(2分)從正方形鐵片上截去2cm寬的一個(gè)長(zhǎng)方形,剩余矩形的面積為35cm2,則原來(lái)正方形的面積為 .
18.(2分)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,以下結(jié)論:①因?yàn)閍<0,所以函數(shù)y有最小值;②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;③當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值等于2;④在本題條件下,一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1,x2=3.其中正確的結(jié)論有 .(填序號(hào))
三、解答題(本大題共8小題 ,共64分)
19.(6分)用配方法解方程:x2﹣4x﹣1=0.
20.(7分)用公式法解方程:x2﹣3x﹣5=0.
21.(7分)已知方程x2+x+k=0的一個(gè)解是x=﹣5,求k值及另一個(gè)解.
22.(7分)從現(xiàn)在開始到2020年,是全國(guó)建成小康社會(huì)的決勝期.某村2016年底人均收入為14400元,計(jì)劃到2018年底達(dá)到22500元,求該村人均純收入的年平均增長(zhǎng)率.
23.(7分)如圖,要利用一面足夠長(zhǎng)的墻為一邊,其余三邊用總長(zhǎng)33m的圍欄建兩個(gè)面積相同的生態(tài)園,為了出入方便,每個(gè)生態(tài)園在平行于墻的一邊各留了一個(gè)寬1.5米的 門,能夠建生態(tài)園的場(chǎng)地垂直于墻的一邊長(zhǎng)不超過(guò)6米(圍欄寬忽略不計(jì)).
(1)每個(gè)生態(tài)園的面積為48平方米,求每個(gè)生態(tài)園的邊長(zhǎng);
(2)每個(gè)生態(tài)園的面積 (填“能”或“不能”)達(dá)到108平方米.
24.(10分)如圖,在△AOB中,∠O=90°,AO=18cm,BO=30cm,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿邊AO以1cm/s的速度向終點(diǎn)O移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O開始沿邊OB以2 cms的速度向終點(diǎn)B移動(dòng),一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).如果M、N兩點(diǎn)分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)四邊形ABNM的面積為Scm2.
(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;
(2)判斷S有最大值還是有最小值,用配方法求出這個(gè)值.
25.(10分)某賓館有30個(gè)房間供旅客居住,當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為120元時(shí),房間會(huì)全部住滿;當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間空閑,如果游客居住房間,賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.
(1)每個(gè)房間每天的定價(jià)為多少時(shí),賓館利潤(rùn)最大?
(2)若物價(jià)局規(guī)定,每個(gè)房間每天定價(jià)不得超過(guò)200元,則該賓館如何定價(jià),每天能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?
26.(10分)如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(1,0),B(0,﹣3)兩點(diǎn).
(1)求這個(gè)拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連接BA、BC,求△ABC的面積.
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得O、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)
1.(2 分)如果(m﹣1)x2+3x﹣2=0是一元二次方程,則( )
A.m≠0 B.m≠1 C.m=0 D.m=1
【解答】解:由題意m﹣1≠0,
∴m≠1,
故選B.
2.(2分)下列方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是( )
A.x2+2x+4=0 B.x2+6x﹣9=0 C.x2﹣4x+4=0 D.4x2+2x+1=0
【解答】解:
A、方程x2+2x+4=0的判別式△=4﹣4×4=﹣12<0,該方程無(wú)實(shí)數(shù)根;
B、方程x2+6x﹣9=0的判別式△=36﹣4×(﹣9)=72>0,該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
C、方程x2﹣4x+4=0的判別式△=(﹣4)2﹣4×4=0, 該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
D、方程4x2+2x+1=0的判別式△=4﹣4×4=﹣12<0,該方程無(wú)實(shí)數(shù)根;
故選C.
3.(2分)下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( )
A.y=x+ B.y=3(x﹣1)2 C.y=ax2+bx+c D.y= +3x
【解答】解:A、y=x+ 是一次函數(shù),此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、y=3(x﹣1)2是二次函數(shù),此選項(xiàng)正確;
C、y=ax2+bx+c不是二次函數(shù),此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、y= +3x不是二次函數(shù),此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選B.
4.(2分)已知方程x2﹣14x+48=0的兩根恰好是Rt△ABC的兩邊的長(zhǎng),則Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為( )
A.10 B.2 C.10或2 D.8
【解答】解:方程x2﹣14x+48=0的兩個(gè)根是6和8.也就是Rt△ABC的兩條邊的長(zhǎng)是6和8.
當(dāng)6和8都是直角邊時(shí),第三邊= =10.
當(dāng)8為斜邊時(shí),第三邊= =2 .
故第三邊長(zhǎng)是10或2 .
故選:C.
5.(2分)在一條直線上有若干個(gè)不同的點(diǎn),共組成45條線段,設(shè)共有x個(gè)點(diǎn),則下列方程正確的是( )
A.x(x﹣1)=45 B. =45 C.x(x+1)=45 D. =45
【解答】解:設(shè)共有x個(gè)點(diǎn),根據(jù)題意,得
=45.
故選B.
6.(2分)拋物線y=﹣2(x+1)2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(1,﹣4) B.(1,4) C.(﹣1,﹣4) D.(﹣1,4)
【解答】解:∵拋物線的解析式為y=﹣2(x+1)2﹣4,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣4).
故選C.
7.(2分)二次函數(shù)y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值 為( )
A.﹣ B. C.1 D.﹣1
【解答】解:∵二次函數(shù)的解析式是y=﹣ (x﹣1)2﹣ ,
∴該拋物線開口方向向上,且頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,﹣ ),
∴二次函數(shù)y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值為﹣ ,
故選:A.
8.(2分)關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.k≤1 B.k<1且k≠0 C.k≤1且k≠0 D.k≥ 1
【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴根的判別式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0,且k≠0.
即k≤1且k≠0.
故選C.
9.(2分)在拋物線y=﹣2x2﹣x+1上的一個(gè)點(diǎn)是( )
A.(1,0) B.(﹣2,﹣5) C.(2,﹣5) D.(﹣1,3)
【解答】解:A、x=1時(shí),y=﹣2x2﹣x+1=﹣2≠0,點(diǎn)(1,0)不在拋物線上;
B、x=﹣2時(shí),y=﹣2x2﹣x+1=﹣5,點(diǎn)(﹣2,﹣5)在拋物線上;
C、x=2時(shí),y=﹣2x2﹣x+1=﹣9≠﹣5,點(diǎn)(2,﹣5)不在拋物線上;
D、x=﹣1時(shí),y=﹣2x2﹣x+1=0≠3,點(diǎn)(﹣1,3)不在拋物線上.
故選B.
10.(2分)如圖,菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°,M為AB的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在菱形的邊上從點(diǎn)B出發(fā),沿B→C→D的方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止.連接MP,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,MP 2=y,則表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為( )
A. B. C. D. ?
【解答】解:(1)當(dāng)0≤x≤ 時(shí),
如圖1,過(guò)M作ME⊥BC與E,
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),AB=2,
∴BM=1,
∵∠B=60°,
∴BE= ,ME= ,PE= ﹣x,
在Rt△BME中,由勾 股定理得:MP2=ME2+PE2,
∴y= =x2﹣x+1;
(2)當(dāng)
如圖2,過(guò)M作ME⊥BC與E,
由(1)知BM=1,∠B=60°,
∴BE= ,ME= ,PE=x﹣ ,
∴MP2=ME2+PE2,
∴y= =x2﹣x+1;
(3)當(dāng)2
如圖3,連結(jié)MC,
∵BM=1,BC=AB=2,∠B=60°,
∴∠BMC=90°,MC= = ,
∵AB∥DC,
∴∠MCD=∠BMC=90°,
∴MP2=MC2+PC2,
∴y= =x2﹣4x+7;綜合(1)(2)(3),只有B選項(xiàng)符合題意.
故選B.
二、填空題(本 大題共8小題,每小題2分,共16分)
11.(2分)二次函數(shù)y= (x ﹣1 )2+ (﹣2) 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,﹣2) .
【解答】解:二次 函數(shù)y= (x﹣1)2﹣2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,﹣2).
故答案為﹣1,(﹣2).
12.(2分)一元二次方程(x﹣2)(x+1)=2x﹣4化為一般形式是 x2﹣3x+2=0 .
【解答】解:(x﹣2)(x+1)=2x﹣4
x2﹣x﹣2=2x﹣4,
則一般形式是:x2﹣3x+2=0,
故答案為:x2﹣3x+2=0.
13.(2分)把拋物線y=﹣ x2﹣1向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得拋物線的解析式為 y=﹣ (x﹣2)2+2 .
【解答】解:原拋物線的頂點(diǎn)為(0,﹣1),向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,那么新拋物線的頂點(diǎn)為(2,2),
可得新拋物線的解析式為:y=﹣ (x﹣2)2+2,
故答案為:y=﹣ (x﹣2)2+2.
14.(2分)方程2(x﹣3)2=x﹣3的解是 x=3或x=3.5 .
【解答】解:∵2(x﹣3)2﹣(x﹣3)=0,
∴(x﹣3)(2x﹣7)=0,
則x﹣3=0或2x﹣7=0,
解得:x=3或x=3.5,
故答案為:x=3或x=3.5
15.(2分)已知直線y=﹣x+1與拋物線y=x2+k一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2,則k= ﹣1 .
【解答】解:將x=﹣2代入直線y=﹣x+1得,y=2+1=3,
則交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,3),
將(﹣2,3)代入y=x2+k得,
3=4+k,
解得k=﹣1.
故答案為:﹣1.
16.(2分)已知函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+1,當(dāng)x <﹣1 時(shí),y隨x的增大而增大.
【解答】解:∵y=﹣2x2﹣4x+1中,對(duì)稱軸為x=﹣ =﹣ =﹣1,開口向下,
∴當(dāng)x<﹣1時(shí)y隨x增大而增大.
故答案為:<﹣1.
17.(2分)從正方形鐵片上截去2cm寬的一個(gè)長(zhǎng)方形,剩余矩形的面積為35cm2,則原來(lái)正方形的面積為 49cm2 .
【解答】解:設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xcm,依題意得
x(x﹣2)=35
整理x2=2x+35
解方程得x1=7,x2=﹣5(舍去)
所以正方形的邊長(zhǎng)是7cm,面積是49cm2
故答案是:49cm2.
18.(2分)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,以下結(jié)論:①因?yàn)閍<0,所以函數(shù)y有最小值;②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;③當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值等于2;④在本題條件下,一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1,x2=3.其中正確的結(jié)論有 ②③④ .(填序號(hào))
【解答】解:∵拋物線開口向下,
∴a<0,函數(shù)y有最大值;故選項(xiàng)①錯(cuò)誤;
由圖象可知函數(shù)圖象對(duì)稱軸為x=1,故選項(xiàng)②正確;
∵當(dāng)x=0時(shí),y=2,故選項(xiàng)③正確;,
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為(﹣1,0)和(3,0)
∴當(dāng)x=﹣1或x=3時(shí),函數(shù)y的值都等于0,故選項(xiàng)④正確;
故答案為:②③④.
三、解答題(本大題共8小題,共64分)
19.(6分)用配方法解方程:x2﹣4x﹣1=0.
【解答】解:x2﹣4x+4=1+4
(x﹣2)2=5
x=2±
20.(7分)用公式法解方程:x2﹣3x﹣5=0.
【解答】解:a=1,b=﹣3,c=﹣5,△=b2﹣4ac=9﹣4×1×(﹣5)=29,
x= = ,
x1= ,x2= .
21.(7分)已知方程x2+x+k=0的一個(gè)解是x=﹣5,求k值及另一個(gè)解.
【解答】解:∵方程x2+x+k=0的一個(gè)解是x=﹣5,
∴25﹣5+k=0,解得k=﹣20,
∴方程為x2+x﹣20=0,
解得x=﹣5或x=4,
∴k的值為 ﹣20,方程的另一個(gè)解為x=4.
22.(7分)從現(xiàn)在開始到2020年,是全國(guó)建成小康社會(huì)的決勝期.某村2016年底人均收入為14400元,計(jì)劃到2018年底達(dá)到22500元,求該村人均純收入的年平均增長(zhǎng)率.
【解 答】解:設(shè)該村人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為x,
根據(jù)題意得:14400(1+x)2=22500,
解得:x1=0.25=25%,x2=﹣2.25(舍去).
答:該村人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為25%.
23.(7分)如圖,要利用一面足夠長(zhǎng)的墻為一邊,其余三邊用總長(zhǎng)33m的圍欄建兩個(gè)面積相同的生態(tài)園,為了出入方便,每個(gè)生態(tài)園在平行于墻的一邊各留了一個(gè)寬1.5米的門,能夠建生態(tài)園的場(chǎng)地垂直于墻的一邊長(zhǎng)不超過(guò)6米(圍欄寬忽略不計(jì)).
(1)每個(gè)生態(tài)園的面積為48平方米,求每個(gè)生態(tài)園的邊長(zhǎng);
(2)每個(gè)生態(tài)園的面積 不能 (填“能”或“不能”)達(dá)到108平方米.
【解答】解:(1)設(shè)每個(gè)生態(tài)園垂直于墻的邊長(zhǎng)為x米,
根據(jù)題意,得:x(33+1.5×2﹣3x)=48×2,
整理,得:x2﹣12x+32=0,
解得:x1=4、x2=8(不合題意,舍去),
當(dāng)x=4時(shí),33+1.5×2﹣3x=24,
24÷2=12,
答:每個(gè)生態(tài)園的面積為48平方米時(shí),每個(gè)生態(tài)園垂直于墻的邊長(zhǎng)為4米,平行于墻的邊長(zhǎng)為12米;
(2)根據(jù)題意,得:x(33+1.5×2﹣3x)=108×2,
整理,得:x2﹣12x+72=0,
由于△=(﹣12)2﹣4×1×72=﹣144<0,
所以方程無(wú)解,
即每個(gè)生態(tài)園的面積不能達(dá)到108平方米,
故答案為:不能.
24.(10分)如圖,在△AOB中,∠O=90°,AO=18cm,BO=30cm,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿邊AO以1cm/s的速度向終點(diǎn)O移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O開始沿邊OB以2c ms的速度向終點(diǎn)B移動(dòng),一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).如果M、N兩點(diǎn)分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)四邊形ABNM的面積為Scm2.
(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;
(2)判斷S有最大值還是有最小值,用配方法求出這個(gè)值.
【解答】解:(1)由題意得,AM=t,ON=2t,則OM=OA﹣AM=18﹣t,
四邊形ABNM的面積S=△AOB的面積﹣△MON的面積
= ×18×30﹣ ×(18﹣t)×2t
=t2﹣18t+270(0
(2)S=t2﹣18t+270
=t2﹣18t+81﹣81+270
=(t﹣9)2+189,
∵a=1>0,
∴S有最小值,這個(gè)值是189.
25.(10分)某賓館有30個(gè)房間供旅客居住,當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為120元時(shí),房間會(huì)全部住滿;當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間空閑,如果游客居住房間,賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.
(1)每個(gè)房間每天的定價(jià)為多少時(shí),賓館利潤(rùn)最大?
(2)若物價(jià)局規(guī)定,每個(gè)房間每天定價(jià)不得超過(guò)200元,則該賓館如何定價(jià),每天能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?
【解答】解:(1)設(shè)每個(gè)房間的每天的定價(jià)為x元時(shí),賓館的利潤(rùn)為w元,
根據(jù)題意,得:w=(x﹣20)(30﹣ )
=﹣ x2+44x﹣840
=﹣ (x﹣220)2+4000,
∴每個(gè)房間每天的定價(jià)為220元時(shí),賓館利潤(rùn)最大;
(2)由(1)知,w=﹣ (x﹣220)2+4000,
∵a=﹣ <0,
∴當(dāng)x<220時(shí),w隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=200時(shí),w最大,此時(shí)w=﹣ (200﹣220)2+4000=3600,
答:該賓館定價(jià)為200元時(shí),每天能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是3600元.
26.(10分)如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(1,0),B(0,﹣3)兩點(diǎn).
(1)求這個(gè)拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連接BA、BC,求△ABC的面積.
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得O、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解答】解:(1)∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(1,0),B(0,﹣3)兩點(diǎn),
∴ ,
解得 ,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3,
即y=﹣(x﹣2)2+1,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1);
(2)由(1)可得,C(2,0),
又∵A(1,0),B(0,﹣3),
∴OC=2,OA=1,OB=3,
∴AC=1,
∴△ABC的面積= AC×OB= ×1×3= .
(3)存在,P點(diǎn)有2個(gè),坐標(biāo)為P1(2,3),P2(2,﹣3).
如圖,當(dāng)四邊形OBCP1是平行四邊形時(shí),CP1=OB=3,而OC=2,
故P1(2,3);
當(dāng)四邊形OBP2C是平行四邊形時(shí),CP2=OB=3,而OC=2,
故P2(2,﹣3).
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