證明三角形內(nèi)心判定方法
三角形內(nèi)心指三個內(nèi)角的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。這個點(diǎn)也是這個三角形內(nèi)切圓的圓心。三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。下面小編給大家?guī)碜C明三角形內(nèi)心判定方法，希望能幫助到大家!
證明三角形內(nèi)心判定方法
在三角形中，三個內(nèi)角的三條角平分線的相交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)是這個三角形內(nèi)切圓的圓心，也叫做三角形的內(nèi)心。三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。
三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。
作∠B、∠C的角平分線于AC、AB交于F、D
CD與BF交于I，連接AI交BC并延長至E
由塞瓦定理有：
BF、CD為角平分線
由角平分線定理有：
由角平分線定理的逆定理有AE為∠A的角分線
證明三角形內(nèi)心判定定義
角平分線的一個性質(zhì)：角平分線分對邊與該角的兩邊成比例。
在△ABC中，連接BO交AC于E，O是內(nèi)心，所以BE是∠B的角平分線，而且AD過內(nèi)心O(均為內(nèi)心的定義所知)，所以在△ADB中BO是∠B的角平分線， 所以有AB/BD=AO/OD,
同理AO/OD=AC/CD
內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，也是內(nèi)接圓的圓心。
本題用到的定理的證明
△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，abc是角的對邊ABC，d=AD。由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC,R1是△ABD的外接圓半 徑，R2是△ACD的外接圓半徑，所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD， CD=R2sinCAD,∠CAD=∠BAD，所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC
證明三角形內(nèi)心判定性質(zhì)
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為☉I(r)，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2
1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r
2、∠BIC=90°+∠BAC/2
3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形內(nèi)切圓切BC于D，則S△ABC=BD×CD
4、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).
5、在△ABC中，內(nèi)心的坐標(biāo)是：
6、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，外心和內(nèi)心的距離為d，則d?=R^2-2Rr
7、△ABC中：a,b,c分別為三邊，S為三角形面積，則內(nèi)切圓半徑r=2S/(a+b+c)
內(nèi)切圓
8、雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對應(yīng)支的頂點(diǎn)。
9、△ABC中，內(nèi)切圓分別與AB，BC，CA相切于P，Q，R，則AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。
10、三角形內(nèi)角平分線定理：△ABC中，I為內(nèi)心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于A'、B'、C',則BA'/CA'=AB/AC,AB'/CB'=BA/BC,AC'/BC'=CA/CB
怎樣證明三角形的內(nèi)心?
內(nèi)心即為角平分線的交點(diǎn)
角平分線有一性質(zhì),即其上各點(diǎn)到兩邊的距離相等,可以用角角邊的知識解釋
而三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離都是兩兩的相等的,
所以三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.對銳直鈍三角都適用
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