2017年呼和浩特市數(shù)學中考模擬試卷(2)
∴ a2=BH(BH+a)，
∴BH= a或BH= a(舍去)，
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴ = ，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+ a= a.
故答案為： a.
三、解答題(共86分，解答應(yīng)寫成文字說明、證明過程、演算步驟)
17.(1)計算：2sin60°﹣( )﹣1+( ﹣1)0
(2)先化簡，再求值：(1﹣ )÷ ，其中a=2+ .
【考點】6D：分式的化簡求值;2C：實數(shù)的運算;6E：零指數(shù)冪;6F：負整數(shù)指數(shù)冪;T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)原式利用特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果;
(2)原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值.
【解答】解：(1)原式=2× ﹣2+1= ﹣1;
(2)原式= • = ，
當a=2+ 時，原式= = +1.
18.某校為了更好地開展球類運動，體育組決定用1600元購進足球8個和籃球14個，并且籃球的單價比足球的單價多20元，請解答下列問題：
(1)求出足球和籃球的單價;
(2)若學校欲用不超過3240元，且不少于3200元再次購進兩種球50個，求出有哪幾種購買方案?
(3)在(2)的條件下，若已知足球的進價為50元，籃球的進價為65元，則在第二次購買方案中，哪種方案商家獲利最多?
【考點】CE：一元一次不等式組的應(yīng)用;8A：一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)足球的單價為x元，則籃球的單價為(x+20)元，則根據(jù)所花的錢數(shù)為1600元，可得出方程，解出即可;
(2)根據(jù)題意所述的不等關(guān)系：不超過3240元，且不少于3200元，等量關(guān)系：兩種球共50個，可得出不等式組，解出即可;
(3)分別求出三種方案的利潤，繼而比較可得出答案.
【解答】解：(1)設(shè)足球的單價為x元，則籃球的單價為(x+20)元，
根據(jù)題意，得8x+14(x+20)=1600，
解得：x=60，x+20=80.
即足球的單價為60元，則籃球的單價為80元;
(2)設(shè)購進足球y個，則購進籃球(50﹣y)個.
根據(jù)題意，得 ，
解得： ，
∵y為整數(shù)，
∴y=38，39，40.
當y=38，50﹣y=12;
當y=39，50﹣y=11;
當y=40，50﹣y=10.
故有三種方案：
方案一：購進足球38個，則購進籃球12個;
方案二：購進足球39個，則購進籃球11個;
方案三：購進足球40個，則購進籃球10個;
(3)商家售方案一的利潤：38(60﹣50)+12(80﹣65)=560(元);
商家售方案二的利潤：39(60﹣50)+11(80﹣65)=555(元);
商家售方案三的利潤：40(60﹣50)+10(80﹣65)=550(元).
故第二次購買方案中，方案一商家獲利最多.
19.某市為了增強學生體質(zhì)，全面實施“學生飲用奶”營養(yǎng)工程.某品牌牛奶供應(yīng)商提供了原味、草莓味、菠蘿味、香橙味、核桃味五種口味的牛奶提供學生飲用.浠馬中學為了了解學生對不同口味牛奶的喜好，對全校訂購牛奶的學生進行了隨機調(diào)查(每盒各種口味牛奶的體積相同)，繪制了兩張不完整的人數(shù)統(tǒng)計圖：
(1)本次被調(diào)查的學生有 200 名;
(2)補全上面的條形統(tǒng)計圖1，并計算出喜好“菠蘿味”牛奶的學生人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù);
(3)該校共有1200名學生訂購了該品牌的牛奶，牛奶供應(yīng)商每天只為每名訂購牛奶的學生配送一盒牛奶.要使學生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供應(yīng)商每天送往該校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒?
【考點】VC：條形統(tǒng)計圖;VB：扇形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)喜好“核桃味”牛奶的學生人數(shù)除以它所占的百分比即可得本次被調(diào)查的學生人數(shù);
(2)用本次被調(diào)查的學生的總?cè)藬?shù)減去喜好原味、草莓味、菠蘿味、核桃味的人數(shù)得出喜好香橙味的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可，用喜好“菠蘿味”牛奶的學生人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以360°，即可得喜好“菠蘿味”牛奶的學生人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖2中所占圓心角的度數(shù);
(3)用喜好草莓味的人數(shù)占的百分比減去喜好原味的人數(shù)占的百分比，再乘以該校的總?cè)藬?shù)即可.
【解答】解：(1)10÷5%=200(名)
答：本次被調(diào)查的學生有200名，
故答案為：200;
(2)200﹣38﹣62﹣50﹣10=40(名)，
條形統(tǒng)計圖如下：
=90°，
答：喜好“菠蘿味”牛奶的學生人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖2中所占圓心角的度數(shù)為90°;
(3)1200×( )=144(盒)，
答：草莓味要比原味多送144盒.
20.有A、B兩個大小均勻的轉(zhuǎn)盤，其中A轉(zhuǎn)盤被分成3等份，B轉(zhuǎn)盤被分成4等份，并在每一份內(nèi)標上數(shù)字.小明和小紅同時各轉(zhuǎn)動其中一個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后(當指針指在邊界線時視為無效，重轉(zhuǎn))，若將A轉(zhuǎn)盤指針指向的數(shù)字記作一次函數(shù)表達式中的k，將B轉(zhuǎn)盤指針指向的數(shù)字記作一次函數(shù)表達式中的b.
(1)請用列表或畫樹狀圖的方法寫出所有的可能;
(2)求一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限的概率.
【考點】X6：列表法與樹狀圖法;F7：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】(1)列表得出所有等可能的情況數(shù)即可;
(2)找出滿足一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限的情況，即可求出所求的概率.
【解答】解：(1)列表如下：
k
b ﹣1 ﹣2 3
﹣1 (﹣1，﹣1) (﹣2，﹣1) (3，﹣1)
﹣2 (﹣1，﹣2) (﹣2，﹣2) (3，﹣2)
3 (﹣1，3) (﹣2，3) (3，3)
4 (﹣1，4) (﹣2，4) (3，4)
所有等可能的情況有12種;
(2)一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限時，k<0，b>0，情況有4種，
則P= = .
21.，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周長.
【考點】L8：菱形的性質(zhì);L7：平行四邊形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定證明即可;
(2)利用平行四邊形的性質(zhì)得出平行四邊形的周長即可.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周長為AD+AE+DE=5+5+8=18.
22.，已知A(﹣4， )，B(﹣1，2)是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù) (m≠0，m<0)圖象的兩個交點，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D.
(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當x取何值時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值?
(2)求一次函數(shù)解析式及m的值;
(3)P是線段AB上的一點，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點P坐標.
【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)觀察函數(shù)圖象得到當﹣4
(2)先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后把B點坐標代入y= 可計算出m的值;
(3)設(shè)P點坐標為(t， t+ )，利用三角形面積公式可得到 • •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣ )，解方程得到t=﹣ ，從而可確定P點坐標.
【解答】解：(1)當﹣4
(2)把A(﹣4， )，B(﹣1，2)代入y=kx+b得 ，
解得 ，
所以一次函數(shù)解析式為y= x+ ，
把B(﹣1，2)代入y= 得m=﹣1×2=﹣2;
(3)設(shè)P點坐標為(t， t+ )，
∵△PCA和△PDB面積相等，
∴ • •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣ )，即得t=﹣ ，
∴P點坐標為(﹣ ， ).
23.，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AC是⊙O的直徑，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延長線于點E.
(1)求證：△ABC∽△DEB;
(2)求證：BE是⊙O的切線;
(3)求DE的長.
【考點】MD：切線的判定;S9：相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)BDE=∠CAB(圓周角定理)且∠BED=∠CBA=90°即可得出結(jié)論;
(2)連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結(jié)論.
(3)根據(jù)△BED∽△CBA，利用對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長度.
【解答】(1)BDE=∠CAB(圓周角定理)且∠BED=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△DEB;
(2)證明：連結(jié)OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO(SSS)，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線.
(3)∵△BED∽△CBA，
∴ ，
即 = ，
解得：DE= .
24.已知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與y軸交于點C(0，4)與x軸交于點A、B，點B(4，0)，拋物線的對稱軸為x=1.直線AD交拋物線于點D(2，m).
(1)求二次函數(shù)的解析式并寫出D點坐標;
(2)點E是BD的中點，點Q是線段AB上一動點，當△QBE和△ABD相似時，求點Q的坐標;
(3)拋物線與y軸交于點C，直線AD與y軸交于點F，點M為拋物線對稱軸上的動點，點N在x軸上，當四邊形CMNF周長取最小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標.
【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)首先運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，然后把點D(2，m)代入二次函數(shù)的解析式，就可求出點D的坐標;
(2)過點D作DH⊥AB于點H，1，根據(jù)勾股定理可求出BD，易求出點A的坐標，從而得到AB長，然后分兩種情況：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA討論，運用相似三角形的性質(zhì)求出BQ，從而得到OQ，即可得到點Q的坐標;
(3)根據(jù)待定系數(shù)法得到直線AD的解析式為：y=x+2，過點F作關(guān)于x軸的對稱點F′，即F′(0，﹣2)，連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點C，D是關(guān)于對稱軸x=1對稱，則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ，得到四邊形CFNM的最短周長為：2+2 時直線DF′的解析式為：y=3x﹣2，從而得到滿足條件的點M和點N的坐標.
【解答】解：(1)由題可得： ，
解得： ，
則二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+x+4.
∵點D(2，m)在拋物線上，
∴m=﹣ ×22+2+4=4，
∴點D的坐標為(2，4);
(2)過點D作DH⊥AB于點H，1，
∵點D(2，4)，點B(4，0)，
∴DH=4，OH=2，OB=4，
∴BH=2，∴DB= =2 .
∵點E為DB的中點，
∴BE= BD= .
令y=0，得﹣ x2+x+4=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
∴點A為(﹣2，0)，
∴AB=4﹣(﹣2)=6.
?、偃簟鱍BE∽△ABD，
則 = ，
∴ = ，
解得：BQ=3，
∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1，
∴點Q的坐標為(1，0);
?、谌簟鱍BE∽△DBA，
則 = ，
∴ = ，
∴BQ= ，
∴OQ=OB﹣BQ=4﹣ = ，
∴點Q的坐標為( ，0).
綜上所述：點Q的坐標為(1，0)或( ，0);
(3)2，由A(﹣2，0)，D(2，4)，
可求得直線AD的解析式為：y=x+2，
即點F的坐標為：F(0，2)，
過點F作關(guān)于x軸的對稱點F′，即F′(0，﹣2)，連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，
由條件可知，點C，D是關(guān)于對稱軸x=1對稱，
則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ，
則四邊形CFNM的周長=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，
即四邊形CFNM的最短周長為：2+2 .
此時直線DF′的解析式為：y=3x﹣2，
所以存在點N的坐標為N( ，0)，點M的坐標為M(1，1).
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