九年級數(shù)學上學期期中試題
數(shù)學是很多的同學都覺得很難的一個科目，其實沒有很難的，今天小編就給大家參考一下九年級數(shù)學，希望大家來收藏哦
初三九年級數(shù)學上期中試卷
一、選擇題(本大題共10小題，共30.0分)
1.若關(guān)于x的方程(a+1)x2+2x-1=0是一元二次方程，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
2.下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.下面的函數(shù)是二次函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
4.已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過A(-3，0)，B(1，0)，C(-5，y1)，D(-2，y2)四點，則y1與y2的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D. 不能確定
5.一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
6.二次函數(shù)y=x2-2x+2的頂點坐標是( )
A. B. C. D.
7.關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有兩個不相等的正實數(shù)根，則m的取值范圍是( )
A. B. 且
C. D.
8.正方形ABCD在直角坐標系中的位置如下圖表示，將正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，C點的坐標是( )
9.把拋物線y=x2+1向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線( )
A. B. C. D.
10.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運動，到點B時停止運動;同時，動點F從點P出發(fā)，沿P→D→Q運動，點E、F的運動速度相同.設(shè)點E的運動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題共8小題，共24.0分)
11.拋物線y=-4(x+1)2+1的開口方向向______，對稱軸是______，頂點的坐標是______.
12.一元二次方程(x+1)(3x-2)=0的一般形式是______.
13.點A(-3，m)和點B(n，2)關(guān)于原點對稱，則m+n=______.
14.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)量的小分支.若主干、支干和小分支的總數(shù)是57，設(shè)每個支干長出x個小分支，則可列方程為______.
15.已知函數(shù)y=x2+2x-3，當x______時，y隨x的增大而增大.
16.若一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0沒有實數(shù)根，則m的取值范圍是______.
17.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為(0.5，1)，下列結(jié)論：
?、賏bc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正確的有______個.
18.如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，點B、O分別落在點B1、C1處，點B1在x軸上，再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去….若點A(，0)，B(0，2)，則B2的坐標為______;點B2016的坐標為______.
三、計算題(本大題共2小題，共22.0分)
19.x2-2x-3=0(配方法)
20.某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y(本)與每本紀念冊的售價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：當銷售單價為22元時，銷售量為36本;當銷售單價為24元時，銷售量為32本.
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?
四、解答題(本大題共6小題，共74.0分)
21.在如圖所示的直角坐標系中，解答下列問題：
(1)分別寫出A、B兩點的坐標;
(2)將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB1C1.
22.已知：關(guān)于x的一元二次方程x2-3x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)請選擇一個k的負整數(shù)值，并求出方程的根.
23.某電腦銷售商試銷某一品牌電腦1月份的月銷售額為400000，現(xiàn)為了擴大銷售，銷售商決定降價銷售，在原來1月份平均銷售量的基礎(chǔ)上，經(jīng)2月份的市場調(diào)查，3月份調(diào)整價格后，月銷售額達到576000元.求1月份到3月份銷售額的月平均增長率.
24.在我校的周末廣場文藝演出活動中，舞臺上有一幅矩形地毯，它的四周鑲有寬度相同的花邊(如圖).地毯中央的矩形圖案長8米、寬6米，整個地毯的面積是80平方米.求花邊的寬.
25.如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，將一個∠EDF=60°的三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉(zhuǎn)這個三角形紙片，使它的兩邊分別交CB，BA(或它們的延長線)于點E，F(xiàn);
(1)當CE=AF時，如圖①，DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______;
(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當CE≠AF時，如圖②，(1)的結(jié)論是否成立?若成立，加以證明;若不成立，請說明理由;
(3)再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當點E，F(xiàn)分別在CB，BA的延長線上時，如圖③，請直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系.
26.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交A(-1，0)，B兩點，與y軸交于點C(0，3)，拋物線的頂點為點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當點P運動到點E時，求△PCD的面積;
(3)點N在拋物線對稱軸上，點M在x軸上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出點M的坐標(不寫求解過程);若不存在，請說明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：由題意得：a+1≠0，
解得：a≠-1.
故選：A.
根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程可得a+1≠0，再解即可.
此題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特別要注意a≠0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.
2.【答案】B
【解析】
解：A、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項正確;
C、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
D、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
故選：B.
根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可直接得到答案.
此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：
軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;
中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
3.【答案】B
【解析】
解：A、y=3x+1，二次項系數(shù)為0，故本選項錯誤;
B、y=x2+2x，符合二次函數(shù)的定義，故本選項正確;
C、y=，二次項系數(shù)為0，故本選項錯誤;
D、y=，是反比例函數(shù)，故本選項錯誤.
故選：B.
根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，判斷各選項即可.
本題考查二次函數(shù)的定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件.
4.【答案】C
【解析】
解：∵拋物線過A(-3，0)、B(1，0)兩點，
∴拋物線的對稱軸為x==-1，
∵a<0，拋物線開口向下，離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，
比較可知C點離對稱軸遠，對應的縱坐標值小，
即y1
故選：C.
根據(jù)A(-3，0)、B(1，0)兩點可確定拋物線的對稱軸，再根據(jù)開口方向，C、D兩點與對稱軸的遠近，判斷y1與y2的大小關(guān)系.
此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，比較拋物線上兩點縱坐標的大小，關(guān)鍵是確定對稱軸，開口方向，兩點與對稱軸的遠近.
5.【答案】A
【解析】
解：x2-7x+10=0，
(x-2)(x-5)=0，
x-2=0，x-5=0，
x1=2，x2=5，
?、俚妊切蔚娜吺?，2，5
∵2+2<5，
∴不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不符合題意;
?、诘妊切蔚娜吺?，5，5，此時符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長是2+5+5=12;
即等腰三角形的周長是12.
故選：A.
求出方程的解，即可得出三角形的邊長，再求出即可.
本題考查了等腰三角形性質(zhì)、解一元二次方程、三角形三邊關(guān)系定理的應用等知識，關(guān)鍵是求出三角形的三邊長.
6.【答案】A
【解析】
解：y=x2-2x+2的頂點橫坐標是-=1，縱坐標是=1，
y=x2-2x+2的頂點坐標是(1，1).
故選：A.
根據(jù)頂點坐標公式，可得答案.
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點坐標是(-，).
7.【答案】D
【解析】
解：根據(jù)題意得m-2≠0且△=(2m+1)2-4(m-2)(m-2)>0，
解得m>且m≠2，
設(shè)方程的兩根為a、b，則a+b=->0，ab==1>0，
而2m+1>0，
∴m-2<0，即m<2，
∴m的取值范圍為
故選：D.
根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m-2≠0且△=(2m+1)2-4(m-2)(m-2)>0，解得m>且m≠2，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到->0，則m-2<0時，方程有正實數(shù)根，于是可得到m的取值范圍為
本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;當△<0時，方程無實數(shù)根.也考查了根與系數(shù)的關(guān)系.
8.【答案】B
【解析】
解：AC=2，
則正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后C的對應點設(shè)是C′，則AC′=AC=2，
則OC′=3，
故C′的坐標是(3，0).
故選：B.
正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，C點的對應點與C一定關(guān)于A對稱，A是對稱點連線的中點，據(jù)此即可求解.
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解C點的對應點與C一定關(guān)于A對稱，A是對稱點連線的中點是關(guān)鍵.
9.【答案】C
【解析】
解：由題意得原拋物線的頂點為(0，1)，
∴平移后拋物線的頂點為(3，-1)，
∴新拋物線解析式為y=(x-3)2-1，
故選：C.
易得原拋物線的頂點及平移后拋物線的頂點，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項系數(shù)可得新的拋物線解析式.
考查二次函數(shù)的幾何變換;用到的知識點為：二次函數(shù)的平移不改變二次項的系數(shù);得多新拋物線的頂點是解決本題的突破點.
10.【答案】A
【解析】
解：當F在PD上運動時，△AEF的面積為y=AE•AD=2x(0≤x≤2)，
當F在AD上運動時，△AEF的面積為y=AE•AF=x(6-x)=-x2+3x(2
圖象為：
故選：A.
分F在線段PD上，以及線段DQ上兩種情況，表示出y與x的函數(shù)解析式，即可做出判斷.
此題考查了動點問題的函數(shù)問題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂圖意，得到相應y與x的函數(shù)解析式.
11.【答案】下 直線x=-1 (-1，1)
【解析】
解：拋物線y=-4(x+1)2+1的開口方向、對稱軸和頂點坐標是：
開口向下，對稱軸為直線x=-1，頂點(-1，1).
故答案為：下，直線x=-1，(-1，1).
利用a=-4得出圖象的開口方向，再利用頂點式得出拋物線的對稱軸和頂點坐標.
此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確利用頂點式得出函數(shù)頂點坐標是解題關(guān)鍵.
12.【答案】3x2+x-2=0
【解析】
解：(x+1)(3x-2)=0，
3x2-2x+3x-2=0，
3x2+x-2=0.
故答案為：3x2+x-2=0.
利用多項式的乘法展開，然后合并同類項即可.
本題考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常數(shù)且a≠0).
13.【答案】1
【解析】
解：∵點A(-3，m)和點B(n，2)關(guān)于原點對稱，
∴m=-2，n=3，
故m+n=3-2=1.
故答案為：1.
根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，可得出m、n的值，代入可得出代數(shù)式的值.
本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標的特點，注意掌握兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反.
14.【答案】x2+x+1=57
【解析】
解：設(shè)每個支干長出x個小分支，
根據(jù)題意列方程得：x2+x+1=57.
故答案為x2+x+1=57.
由題意設(shè)每個支干長出x個小分支，每個小分支又長出x個分支，則又長出x2個分支，則共有x2+x+1個分支，即可列方程.
此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，要根據(jù)題意分別表示主干、支干、小分支的數(shù)目，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
15.【答案】>-1
【解析】
解：∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，a=1>0，
∴函數(shù)y=x2+2x-3的圖象開口向上，對稱軸為直線x=-1，當x>-1時，y隨x的增大而增大，
故答案為：>-1.
先將拋物線的解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，x的取值在什么范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大.
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到二次函數(shù)圖象的升降情況.
16.【答案】m<
【解析】
解：∵一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0沒有實數(shù)根，
∴△=16-4(m-1)×(-5)<0，且m-1≠0，
∴m<.
故答案為：m<.
據(jù)關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0沒有實數(shù)根，得出△=16-4(m-1)×(-5)<0，從而求出m的取值范圍.
本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0，方程沒有實數(shù)根.
17.【答案】3
【解析】
解：①∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線與y軸正半軸相交，∴c>0，對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b>0，∴abc<0，故①正確;
?、凇邟佄锞€的對稱軸為x=，∴x=-=，∴a+b=0，故②正確;
?、邸邟佄锞€頂點的縱坐標為1，∴=1，∴4ac-b2=4a，故③正確;
?、堋遖+b=0，c>0，∴a+b+c>0，故④錯誤.
其中正確的是①②③.
故答案為：3.
?、俑鶕?jù)拋物線的開口方向和拋物線與y軸的交點坐標即可確定;
?、诟鶕?jù)拋物線的對稱軸即可判定;
?、鄹鶕?jù)拋物線的頂點縱坐標即可判定;
④由a+b=0，c>0，即可判定a+b+c>0.
此題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)的自變量與對應的函數(shù)值，頂點坐標的熟練運用.
18.【答案】(6，2) (6048，2)
【解析】
解：∵A(，0)，B(0，2)，
∴Rt△AOB中，AB=，
∴OA+AB1+B1C2=+2+=6，
∴B2的橫坐標為：6，且B2C2=2，即B2(6，2)，
∴B4的橫坐標為：2×6=12，
∴點B2016的橫坐標為：2016÷2×6=6048，點B2016的縱坐標為：2，
即B2016的坐標是(6048，2).
故答案為：(6，2)，(6048，2).
首先根據(jù)已知求出三角形三邊長度，然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，B、B2、B4…每偶數(shù)之間的B相差6個單位長度，根據(jù)這個規(guī)律可以求得B2016的坐標.
此題考查了點的坐標規(guī)律變換以及勾股定理的運用，通過圖形旋轉(zhuǎn)，找到所有B點之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
19.【答案】解：移項得：x2-2x=3，
配方得：x2-2x+1=3+1，
即(x-1)2=4，
開方得：x-1=±2，
故原方程的解是：x1=3，x2=-1.
【解析】
移項后配方得到x2-2x+1=3+1，推出(x-1)2=4，開方后得出方程x-1=±2，求出方程的解即可.
本題考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的應用，關(guān)鍵是配方得出(x-1)2=4，題目比較好，難度不大.
20.【答案】解：(1)設(shè)y與x的關(guān)系式為y=kx+b，
把(22，36)與(24，32)代入，
得：，
解得：，
則y=-2x+80;
(2)由題意可得：
w=(x-20)(-2x+80)
=-2x2+120x-1600
=-2(x-30)2+200，
此時當x=30時，w最大，
∴即當x=30時，w最大=-2×(30-30)2+200=200(元)，
答：該紀念冊銷售單價定為30元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大，最大利潤是200元.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求解可得;
(2)根據(jù)所獲得總利潤=每本利潤×銷售數(shù)量列出函數(shù)解析式，配方成頂點式可得答案.
本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)銷售問題中關(guān)于利潤的相等關(guān)系列出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì).
21.【答案】解：(1)由點A、B在坐標系中的位置可知：A(2，0)，B(-1，-4);
(2)如圖所示：
【解析】
(1)直接根據(jù)點A、B在坐標系中的位置寫出其坐標即可;
(2)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB1C1即可;
本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換，熟知圖形旋轉(zhuǎn)后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關(guān)鍵.
22.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2-3x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=(-3)2-4×1×(-k)>0，
解得k>-;
(2)當k=-2時，方程為x2-3x+2=0，
因式分解得(x-1)(x-2)=0，
解得x1=1，x2=2.
【解析】
(1)根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根根，則根的判別式△=b2-4ac>0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍;
(2)k取負整數(shù)，再解一元二次方程即可.
本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根是解答此題的關(guān)鍵.
23.【答案】解：設(shè)1月份到3月份銷售額的月平均增長率為x，
根據(jù)題意得：400000(1+x)2=576000，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍去).
答：1月份到3月份銷售額的月平均增長率為20%.
【解析】
設(shè)1月份到3月份銷售額的月平均增長率為x，根據(jù)該品牌電腦1月份及3月份的月銷售額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.
24.【答案】解：設(shè)花邊的寬為x米，
根據(jù)題意得(2x+8)(2x+6)=80，
解得x1=1，x2=-8，
x2=-8不合題意，舍去.
答：花邊的寬為1米.
【解析】
本題可根據(jù)地毯的面積為80平方米來列方程，其等量關(guān)系式可表示為：(矩形圖案的長+兩個花邊的寬)×(矩形圖案的寬+兩個花邊的寬)=地毯的面積.
本題可根據(jù)關(guān)鍵語句和等量關(guān)系列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.
25.【答案】DE=DF
【解析】
解：(1)DE=DF;
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠A=∠C，
∵AF=CE，
∴△DAF≌△DCE(SAS)，
∴DE=DF.
(2)成立.
理由：連接BD.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB.
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠DAF=60°.
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(ASA)，
∴DE=DF.
(3)結(jié)論：DF=DE.
理由：如圖3，連接BD.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB.
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，同法可證∠DBC=60°，
∴∠DBE=∠DAF=120°
∵∠EDF=ADB=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(ASA)，
∴DF=DE;
(1)證明△DAF≌△DCE(SAS)即可判斷;
(2)由菱形的性質(zhì)得到△ABD是等邊三角形，再證明△ADF≌△BDE即可;
(3)由菱形的性質(zhì)得到△ABD是等邊三角形，再證明△ADF≌△BDE即可;
本題考查幾何變換綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，判斷三角形是等邊三角形(△ABD是等邊三角形)是解本題的突破點.
26.【答案】解：(1)將A(-1，0)，C(0，3)代入y=ax2+2x+c，得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)當y=0時，有-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴點B的坐標為(3，0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴點E的坐標為(1，4).
設(shè)過B，C兩點的直線解析式為y=kx+b(k≠0)，
將B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為y=-x+3.
∵點D是直線與拋物線對稱軸的交點，
∴點D的坐標為(1，2)，
∴DE=2，
∴當點P運動到點E時，△PCD的面積=×2×1=1.
(3)設(shè)點M的坐標為(m，0)，點N的坐標為(1，n).
分三種情況考慮：
①當四邊形CBMN為平行四邊形時，有1-0=m-3，
解得：m=4，
∴此時點M的坐標為(4，0);
②當四邊形CMNB為平行四邊形時，有m-1=0-3，
解得：m=-2，
∴此時點M的坐標為(-2，0);
?、郛斔倪呅蜟MBN為平行四邊形時，有0-1=m-3，
解得：m=2，
∴此時點M的坐標為(2，0).
綜上所述：存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標為(4，0)或(-2，0)或(2，0).
【解析】
(1)由點A，C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，利用配方法可求出頂點E的坐標，由點B，C的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點D的坐標，再利用三角形的面積公式即可求出當點P運動到點E時△PCD的面積;
(3)設(shè)點M的坐標為(m，0)，點N的坐標為(1，n)，分四邊形CBMN為平行四邊形、四邊形CMNB為平行四邊形及四邊形CMBN為平行四邊形三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式;(2)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及配方法，求出點D，E的坐標;(3)分四邊形CBMN為平行四邊形、四邊形CMNB為平行四邊形及四邊形CMBN為平行四邊形三種情況求出點M的坐標.
九年級數(shù)學上學期期中試卷
一、選擇題(本大題共12小題，共36.0分)
1.下列方程中，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.觀察下列圖案，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程x2-2x=3的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是( )
A. 1、2、 B. 1、2、3 C. 1、、3 D. 1、、
4.在平面直角坐標系中，有A(2，-1)、B(-1，-2)、C(2，1)、D(-2，1)四點.其中，關(guān)于原點對稱的兩點為( )
A. 點A和點B B. 點B和點C C. 點C和點D D. 點D和點A
5.將拋物線y=2x2平移后得到拋物線y=2x2+1，則平移方式為( )
A. 向左平移1個單位 B. 向右平移1個單位
C. 向上平移1個單位 D. 向下平移1個單位
6.設(shè)x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩根，則x1+x2=( )
A. B. 2 C. 3 D.
7.將二次函數(shù)y=x2-4x+2化為頂點式，正確的是( )
A. B. C. D.
8.設(shè)A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=(x-1)2-3上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為
( )
A. B. C. D.
9.△ABC是等邊三角形，點P在△ABC內(nèi)，PA=2，將△PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△P1AC，則P1P的長等于( )
A. 2
B.
C.
D. 1
10.二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac>0;②當x≥1時，y隨x的增大而減小;③2a+b=0;④b2-4ac<0;⑤4a-2b+c>0，其中正確的個數(shù)是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.已知一元二次方程x2-8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，則△ABC的周長為( )
A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12
12.在同一直角坐標系中，函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=-mx2+2x+2(m是常數(shù)，且m≠0)的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題共6小題，共18.0分)
13.方程x2-1=0的解為______.
14.已知關(guān)于x的方程x2+mx-6=0的一個根為2，則m=______.
15.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則方程ax2+bx+c=0的兩根為______.
16.函數(shù)y=(x-1)2+3，當x______時，函數(shù)值y隨x的增大而增大.
17.一座石拱橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數(shù)關(guān)系式為y=-，當水面離橋拱頂?shù)母叨萇C是4m時，水面的寬度AB為______m.
18.如圖①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4.將△AOB沿x軸依次以點A、B、O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，分別得到圖②、圖③、…，則旋轉(zhuǎn)得到的圖⑩的直角頂點的坐標為______.
三、計算題(本大題共2小題，共20.0分)
19.某商品的進價為每件40元.當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價1元，每星期可多賣出20件.在確保盈利的前提下，解答下列問題：
(1)若設(shè)每件降價x元、每星期售出商品的利潤為y元，請寫山y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍;
(2)當降價多少元時，每星期的利潤最大?最大利潤是多少?
20.如圖，拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點A(0，3)，B(-1，0)，請解答下列問題：
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點為點D，對稱軸與x軸交于點E，連接BD，求BD的長.
(3)點F在拋物線的對稱軸上運動，是否存在點F，使△BFC的面積為4，如果存在，求出點F的坐標;如果不存在，請說明理由.
四、解答題(本大題共6小題，共46.0分)
21.解方程：3x(x-1)=2x-2.
22.在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求畫圖和解答下列問題：
(1)將△ABC沿x軸向右平移4個單位，在圖中畫出平移后的△A1B1C1
(2)作△ABC關(guān)于坐標原點成中心對稱的△A2B2C2.
(3)求B1的坐標______，C2的坐標______.
23.已知二次函數(shù)y=-x2-2x+3.
(1)將其配方成y=a(x-k)2+h的形式，并寫出它的開口方向、對稱軸及頂點坐標.
(2)在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，并觀察圖象，當y≥0時，x的取值范圍.
24.如圖所示，把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉(zhuǎn)，使得點A與CB的延長線上的點E重合，連接CD.
(1)試判斷△CBD的形狀，并說明理由;
(2)求∠BDC的度數(shù).
25.某市某樓盤準備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于購房者持幣觀望，銷售不暢.房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價開盤銷售.求平均每次下調(diào)的百分率.
26.已知：關(guān)于x的方程x2+4x+(2-k)=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求實數(shù)k的取值范圍.
(2)取一個k的負整數(shù)值，且求出這個一元二次方程的根.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、不是一元二次方程，故此選項錯誤;
B、是一元二次方程，故此選項正確;
C、不是一元二次方程，故此選項錯誤;
D、不是一元二次方程，故此選項錯誤;
故選：B.
根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進行解答即可.
此題主要考查了一元二次方程定義，判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”;“一個未知數(shù)”;“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”;“二次項的系數(shù)不等于0”;“整式方程”.
2.【答案】C
【解析】
解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤;
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤;
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故本選項正確;
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤.
故選：C.
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的知識，要注意：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合.
3.【答案】D
【解析】
解：方程可化為：x2-2x-3=0，
二次項系數(shù)為1、一次項系數(shù)為-2、常數(shù)項為-3.
故選：D.
將方程化為一元二次方程的一般形式，然后找出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.
本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù);bx叫做一次項;c叫做常數(shù)項.
4.【答案】D
【解析】
解：A(2，-1)與D(-2，1)關(guān)于原點對稱，
故選：D.
根據(jù)關(guān)于原點對稱，橫縱坐標都互為相反數(shù)即可得出答案.
本題考查了關(guān)于原點對稱點的坐標，掌握P(a，b)關(guān)于原點對稱點的坐標P′(-a，-b)是解題的關(guān)鍵.
5.【答案】C
【解析】
解：拋物線y=2x2平移得到拋物線y=2x2+1的步驟是：向上平移1個單位.
故選：C.
直接利用二次函數(shù)圖象平移規(guī)律(左加右減，上加下減)進而得出答案.
此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確記憶平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.
6.【答案】B
【解析】
解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，
x1+x2=-=2.
故選：B.
根據(jù)兩根和與系數(shù)的關(guān)系，直接可得結(jié)論.
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系.記住根與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=-，x1•x2=.
7.【答案】A
【解析】
解：y=x2-4x+2
=x2-4x+4-2
=(x-2)2-2.
故選：A.
直接利用配方法將原式變形進而得出答案.
此題主要考查了二次函數(shù)的三種形式，正確應用完全平方公式是解題關(guān)鍵.
8.【答案】B
【解析】
解：∵y=(x-1)2-3，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵拋物線開口向上，而點A(-2，y1)到對稱軸的距離最遠，B(1，y2)在對稱軸上，
∴y2
故選：B.
由y=(x-1)2-3可知拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過三點與對稱軸距離的遠近來比較函數(shù)值的大小.
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.此題需要掌握二次函數(shù)圖象的增減性.
9.【答案】A
【解析】
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵將△PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等邊三角形，
∴P1P=PA=2，
故選：A.
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AC=AB，∠CAB=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△CP1A≌△BPA，推出AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，求出∠PAP1=60°，得出△APP1是等邊三角形，即可求出答案.
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是得出△APP1是等邊三角形，注意“有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的對應邊相等，每個角都等于60°.
10.【答案】B
【解析】
解：①∵拋物線開口向上，且與y軸交于負半軸，
∴a>0，c<0，
∴ac<0，結(jié)論①錯誤;
?、凇邟佄锞€開口向上，且拋物線對稱軸為直線x=1，
∴當x≥1時，y隨x的增大而增大，結(jié)論②錯誤;
?、邸邟佄锞€對稱軸為直線x=1，
∴-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，結(jié)論③正確;
④∵a>0，c<0，b=-2a，
∴b2-3ac=4a2-3ac=a(4a-3c)>0，結(jié)論④錯誤;
⑤∵當x=-2時，y>0，
∴4a-2b+c>0，結(jié)論⑤正確.
故選：B.
?、儆蓲佄锞€的開口方向及與y軸交點的位置，即可得出a>0、c<0，進而可得出ac<0，結(jié)論①錯誤;②由拋物線的開口方向及對稱軸，可得出當x≥1時，y隨x的增大而增大，結(jié)論②錯誤;③由拋物線對稱軸為直線x=1，即可得出b=-2a，進而可得出2a+b=0，結(jié)論③正確;④由a>0、c<0、b=-2a，可得出b2-3ac=4a2-3ac=a(4a-3c)>0，結(jié)論④錯誤;⑤由當x=-2時，y>0可得出4a-2b+c>0，結(jié)論⑤正確.綜上即可得出結(jié)論.
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析五條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵.
11.【答案】B
【解析】
解：∵x2-8x+15=0，
∴(x-3)(x-5)=0，
∴x-3=0或x-5=0，
即x1=3，x2=5，
∵一元二次方程x2-8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，
∴當?shù)走呴L和腰長分別為3和5時，3+3>5，
∴△ABC的周長為：3+3+5=11;
∴當?shù)走呴L和腰長分別為5和3時，3+5>5，
∴△ABC的周長為：3+5+5=13;
∴△ABC的周長為：11或13.
故選：B.
由一元二次方程x2-8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底邊長和腰長，然后分別從當?shù)走呴L和腰長分別為3和5時與當?shù)走呴L和腰長分別為5和3時去分析，即可求得答案.
此題考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系.此題難度不大，注意分類討論思想的應用.
12.【答案】D
【解析】
解：A、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m<0，即函數(shù)y=-mx2+2x+2開口方向朝上，與圖象不符，故A選項錯誤;
B、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m<0，對稱軸為x=-=-=<0，則對稱軸應在y軸左側(cè)，與圖象不符，故B選項錯誤;
C、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m>0，即函數(shù)y=-mx2+2x+2開口方向朝下，與圖象不符，故C選項錯誤;
D、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m<0，即函數(shù)y=-mx2+2x+2開口方向朝上，對稱軸為x=-=-=<0，則對稱軸應在y軸左側(cè)，與圖象相符，故D選項正確;
故選：D.
本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限的問題，關(guān)鍵是m的正負的確定，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當a>0時，開口向上;當a<0時，開口向下.對稱軸為x=-，與y軸的交點坐標為(0，c).
本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題.
13.【答案】x1=1，x2=-1
【解析】
解：x2-1=0，
(x+1)(x-1)=0，
x-1=0，x+1=0，
x1=1，x2=-1，
故答案為：x1=1，x2=-1.
分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
本題考查了學生對解一元二次方程的應用，本題難度比較低，關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程.
14.【答案】1
【解析】
解：把x=2代入方程x2+mx-6=0，
得：4+2m-6=0，
解方程得：m=1.
故答案為：1.
把x=2代入方程x2+mx-6=0得到一個關(guān)于m的一元一次方程，求出方程的解即可.
本題主要考查對解一元一次方程，等式的性質(zhì)，一元二次方程的解等知識點的理解和掌握，能得到方程4+2m-6=0是解此題的關(guān)鍵.
15.【答案】x1=-1，x2=3
【解析】
解：∵拋物線與x軸的一交點坐標為(-1，0)，對稱軸方程為x=1，
∴拋物線與x軸的另一交點坐標與(-1，0)關(guān)于直線x=1對稱，
∴拋物線與x軸的另一交點坐標(3，0).
∴方程ax2+bx+c=0的兩根為：x1=-1，x2=3.
故答案是：x1=-1，x2=3.
結(jié)合圖象得到拋物線與x軸的一交點坐標為(-1，0)，對稱軸方程為x=1，則拋物線與x軸的另一交點坐標與(-1，0)關(guān)于直線x=1對稱.
考查了拋物線與x軸的交點.解題時，需要掌握拋物線y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.
16.【答案】>1
【解析】
解：可直接得到對稱軸是x=1，
∵a=>0，
∴函數(shù)圖象開口向上，
∴當x>1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大.
先求對稱軸，再利用函數(shù)值在對稱軸左右的增減性可得x的范圍.
主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和求拋物線的對稱軸和頂點坐標的方法.
17.【答案】16
【解析】
解：根據(jù)題意B的縱坐標為-4，
把y=-4代入y=-x2，
得x=±8，
∴A(-8，-4)，B(8，-4)，
∴AB=16m.
即水面寬度AB為16m.
故答案為：16.
根據(jù)題意，把y=-4直接代入解析式即可解答.
此題考查了二次函數(shù)的實際應用，掌握二次函數(shù)的對稱性是解決問題的關(guān)鍵.
18.【答案】(36，0)
【解析】
解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∴圖③、④的直角頂點坐標為(12，0)，
∵每旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)，
∴圖⑥、⑦的直角頂點坐標為(24，0)，
∴圖⑨、⑩的直角頂點為(36，0).
故答案為：(36，0).
如圖，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，則AB=5，每旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)，則圖③、④的直角頂點坐標為(12，0)，圖⑥、⑦的直角頂點坐標為(24，0)，所以，圖⑨、⑩10的直角頂點為(36，0).
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)及勾股定理，找出圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律“旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)”，是解答本題的關(guān)鍵.
19.【答案】解：(1)y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)，
即y=-20x2+100x+6000.
因為降價要確保盈利，所以40<60-x≤60(或40<60-x<60也可).
解得0≤x<20(或0
(2)當時，
y有最大值，
即當降價2.5元時，利潤最大且為6125元.
【解析】
(1)根據(jù)題意，賣出了(60-x)(300+20x)元，原進價共40(300+20x)元，則y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x).
(2)根據(jù)x=-時，y有最大值即可求得最大利潤.
本題考查的是二次函數(shù)的應用以及畫圖能力，難度中等.
20.【答案】解：(1)把A(0，3)，B(-1，0)代入y=ax2+2x+c得，即得，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴D(1，4)，
∴BD==2;
(3)存在.
∵拋物線的對稱性為直線x=1，B(-1，0)，
∴C(3，0)，
設(shè)F(1，m)，
∵△BFC的面積為4，
∴•(3+1)•|m|=4，
∴|m|=2，解得m=2或m=-2，
∴點F的坐標為(1，2)或(1，-2).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;
(2)把(1)的解析式配成頂點式得到D點坐標，然后兩點間的距離公式計算BD的長;
(3)先利用對稱性確定C點坐標，設(shè)F(1，m)，根據(jù)三角形面積公式得到•(3+1)•|m|=4，然后解絕對值方程求出m即可得到點F的坐標.
本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì).
21.【答案】解：3x(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(3x-2)=0
∴x1=1，x2=.
【解析】
把右邊的項移到左邊，用提公因式法進行因式分解求出方程的根.
本題考查的是用因式分解法解方程，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點，用提公因式法因式分解求出方程的根.
22.【答案】(2，-2) (4，1)
【解析】
解：(1)△A1B1C1如圖所示;
(2)△A2B2C2如圖所示;
(3)求B1的坐標(2，-2)，C2的坐標(4，1).
(1)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可;
(2)分別作出A，B，C的對應點△A2，B2，C2即可;
(3)根據(jù)B1，C2，的位置寫出坐標即可;
本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.
23.【答案】解：(1)二次函數(shù)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
故該函數(shù)的開口向下，對稱軸是直線x=-1，頂點坐標為(-1，4);
(2)當y=0時，0=-x2-2x+3，得x=-3或x=1，
故該函數(shù)的圖象如右圖所示，
當y≥0時，x的取值范圍是-3≤x≤1.
【解析】
(1)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用配方法可以將題目中的函數(shù)解析式化為y=a(x-k)2+h的形式，并寫出它的開口方向、對稱軸及頂點坐標;
(2)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以畫出函數(shù)的圖象，并直接寫出當y≥0時，x的取值范圍.
本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的三種形式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.
24.【答案】解：(1)∵△EBD由△ABC旋轉(zhuǎn)而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC=BD，
∴△CBD是等腰三角形.
(3)∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD=∠ABC=30°，
∴∠DBC=180-30°=150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC===15°.
【解析】
(1)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)得出△ABC≌△EBD，故可得出BC=BD，由此即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)圖形選旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)求出∠EBD的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出∠BDC的度數(shù).
本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
25.【答案】解：設(shè)平均每次降價的百分率是x，根據(jù)題意列方程得，
6000(1-x)2=4860，
解得：x1=10%，x2=1.9(不合題意，舍去);
答：平均每次降價的百分率為10%.
【解析】
設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，利用預訂每平方米銷售價格×(1-每次下調(diào)的百分率)2=開盤每平方米銷售價格列方程解答即可.
此題考查了一元二次方程的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.
26.【答案】解：(1)∵方程x2+4x+(2-k)=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴42-4(2-k)>0，
即4k+8>0，解得k>-2;
(2)若k是負整數(shù)，k只能為-1;
如果k=-1，原方程為x2+4x+3=0，
解得：x1=-1，x2=-3.
【解析】
(1)因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，△>0，由此可求k的取值范圍;
(2)在k的取值范圍內(nèi)，取負整數(shù)，代入方程，解方程即可.
此題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.
秋季學期九年級數(shù)學半期統(tǒng)考試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.方程2x2-3x+1=0化為(x+a)2=b的形式，正確的是( C )
A.(x-32)2=16 B.2(x-34)2=116 C.(x-34)2=116 D.以上都不對
2.(益陽中考)下列判斷錯誤的是( D )
A.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B.四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形
C.四條邊都相等的四邊形是菱形 D.兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形
3.(遂寧中考)關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有兩個實數(shù)根，則a的取值范圍為( C )
A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1
4.菱形OACB在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點C的坐標是(6，0)，點A的縱坐標是1，則點B的坐標是( B )
A.(3，1) B.(3，-1) C.(1，-3) D.(1，3)
5.(涼山州中考)若關(guān)于x的方程x2+2x-3=0與2x+3=1x-a有一個解相同，則a的值為( C )
A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3
6.(河北中考)如圖是邊長為10 cm的正方形鐵片，過兩個頂點剪掉一個三角形，以下四種剪法中，裁剪線長度所標的數(shù)據(jù)(單位：cm)不正確的是( A )
7.(湖州中考)一個布袋里裝有4個只有顏色不同的球，其中3個紅球，1個白球.從布袋里摸出1個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出1個球，則兩次摸到的球都是紅球的概率是( D )
A.116 B.12 C.38 D.916
8.(蘭州中考)王叔叔從市場上買了一塊長80 cm，寬70 cm的矩形鐵皮，準備制作一個工具箱.如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長x cm的正方形后，剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3000 cm2的無蓋長方形工具箱，根據(jù)題意列方程為( C )
A.(80-x)(70-x)=3000 B.80×70-4x2=3000
C.(80-2x)(70-2x)=3000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3000
,第8題圖) ,第9題圖) ,第10題圖)
9.(郴州中考)如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，則EF的長是( C )
A.7 B.8 C.72 D.73
10.如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上M點處，延長BC、EF交于點N.有下列四個結(jié)論：①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等邊三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中，將正確結(jié)論的序號全部選對的是( B )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
點撥：由折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)，可證得CF=FM=DF，①正確;易求得∠BFE=∠BFN，則可得BF⊥EN，②正確;易證得△BEN是等腰三角形，但無法判定是等邊三角形，③錯誤;易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應底的比，④正確
二、填空題(每小題3分，共18分)
11.(黑龍江中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請你添加一個條件__EB=DC(答案不唯一)__，使四邊形DBCE是矩形.
12.(成都中考)已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個實數(shù)根，且x12-x22=10，則a=__214__.
,第11題圖) ,第13題圖) ,第16題圖)
13.(紹興中考)如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500 m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為__4600__m.
14.(綿陽中考)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則事件“兩枚骰子的點數(shù)和小于8且為偶數(shù)”的概率是__14__.
15.(達州期末)對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=a2-ab(a≥b)a*b=ab-b2(a
16.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F(xiàn)分別為AD，CD上的動點，且AE+CF=2，則線段EF長的最小值是__3__.
三、解答題(共72分)
17.(6分) 解下列方程：
(1)4x2-(3x+1)2=0; (2)x2-6x+2=0.
解：x1=-15，x2=-1 解：x1=3+7，x2=3-7
18.(6分)(雅安中考)如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，且AE=CF.
(1)求證：四邊形BEDF是菱形;
(2)若正方形邊長為4，AE=2，求菱形BEDF的面積.
(1)證明：連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，∴四邊形BEDF為菱形
(2)解：∵正方形邊長為4，∴BD=AC=42，∵AE=CF=2，∴EF=22，∴S菱形BEDF=12BD•EF=12×42×22=8
19.(7分)(巴中中考)某商店準備進一批季節(jié)性小家電，進價40元.經(jīng)市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個;定價每減少1元，銷售量凈增加10個.因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不得超過180個，商店若想獲利2000元，則應進貨多少個?定價為多少元?
解：設(shè)每個商品的定價是x元，由題意得(x-40)[180-10(x-52)]=2000，整理得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60.當x=50時，進貨180-10(50-52)=200個>180個，不符合題意，舍去;當x=60時，進貨180-10(60-52)=100個<180個，符合題意.
答：當該商品每個定價為60元時，進貨100個
20.(7分)(南充中考)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0
(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)如果方程的兩實根為x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值.
(1)證明：∵x2-(m-2)x-m=0，∴Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根
(2)∵x2-(m-3)x-m=0，方程的兩實根為x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，∴(x1+x2)2-3x1x2=7，∴(m-3)2-3×(-m)=7，解得m1=1，m2=2，即m的值是1或2
21.(8分)(泰州中考)如圖，正方形ABCD中，G為BC邊上一點，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，連接DE.
(1)求證：△ABE≌△DAF;
(2)若AF=1，四邊形ABED的面積為6，求EF的長.
證明：(1)易證△ABE≌△DAF(AAS)
(2)設(shè)EF=x，則AE=DF=x+1，由題意2×12×(x+1)×1+12×x×(x+1)=6，解得x=2或-5(舍棄)，∴EF=2
22.(8分)(錦州中考)傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的早晨，小文媽媽為小文準備了四個粽子作早點：一個棗餡粽，一個肉餡粽，兩個花生餡粽，四個粽子除內(nèi)部餡料不同外，其它一切均相同.
(1)小文吃前兩個粽子剛好都是花生餡粽的概率為__16__;
(2)若媽媽在早點中給小文再增加一個花生餡的粽子，則小文吃前兩個粽子都是花生餡粽的可能性是否會增大?請說明理由.
解：(1)16 (2)會增大，理由：分別用A，B，C表示棗餡粽，肉餡粽，花生餡粽，畫樹狀圖得：
∵共有20種等可能的結(jié)果，兩個都是花生的有6種情況，∴都是花生的概率為：620=310>16;
∴給小文再增加一個花生餡的粽子，則小文吃前兩個粽子都是花生餡粽的可能性會增大
23.(8分)(重慶中考)為豐富居民業(yè)余生活，某居民區(qū)組建籌委會，該籌委會動員居民自愿集資建立一個書刊閱覽室.經(jīng)預算，一共需要籌資30000元，其中一部分用于購買書桌、書架等設(shè)施，另一部分用于購買書刊.
(1)籌委會計劃，購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設(shè)施資金的3倍，問最多用多少資金購買書桌、書架等設(shè)施?
(2)經(jīng)初步統(tǒng)計，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需集資150元.鎮(zhèn)政府了解情況后，贈送了一批閱覽室設(shè)施和書籍，這樣，只需參與戶共集資20000元.經(jīng)籌委會進一步宣傳，自愿參與的戶數(shù)在200戶的基礎(chǔ)上增加了a%(其中a>0).則每戶平均集資的資金在150元的基礎(chǔ)上減少了109a%，求a的值.
解：(1)設(shè)用于購買書桌、書架等設(shè)施的為x元，則購買書籍的有(30000-x)元，
根據(jù)題意得：30000-x≥3x，解得：x≤7500.答：最多用7500元購買書桌、書架等設(shè)施
(2)根據(jù)題意得：200(1+a%)×150(1-109a%)=20000
整理得：a2+10a-3000=0，解得：a=50或a=-60(舍去)，所以a的值是50
24.(10分)如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1.
(1)判斷△BEC的形狀，并說明理由?
(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形?并證明你的判斷;
(3)求四邊形EFPH的面積.
解：(1)△BEC是直角三角形：理由是：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE=CD2+DE2=22+12=5，同理BE=25，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形
(2)四邊形EFPH為矩形，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四邊形DEBP是平行四邊形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE，∴四邊形EFPH是平行四邊形，∵∠BEC=90°，∴平行四邊形EFPH是矩形
(3)在Rt△PCD中FC⊥PD，由三角形的面積公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF=4×225=455，∴EF=CE-CF=5-455=155，∵PF=PC2-CF2=855，∴S矩形EFPH=EF•PF=85，答：四邊形EFPH的面積是85
25.(12分)(1)如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE.求證：CE=CF;
(2)如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE=45°，請你利用(1)的結(jié)論證明：GE=BE+GD;
(3)運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求四邊形ABCD的面積.
(1)證明：易證△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF
(2)證明：如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD
(3)解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G.在四邊形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四邊形ABCG為正方形.∴AG=BC.∵∠DCE=45°，根據(jù)(1)(2)可知，ED=BE+DG. ∴10=4+DG，即DG=6.設(shè)AB=x，則AE=x-4，AD=x-6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=(x-6)2+(x-4)2.解這個方程，得：x=12或x=-2(舍去).∴AB=12.∴S梯形ABCD=12(AD+BC)•AB=12×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面積為108
九年級數(shù)學上學期期中試卷閱讀
一、選擇題(共10小題，每小題3分，本大題滿分30分. 每一道小題有A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項最符合題目要求，把最符合題目要求的選項的代號直接填涂在答題卡內(nèi)相應題號下的方框中，不涂、涂錯或一個方框內(nèi)涂寫的代號超過一個，一律得0分.)
1.二次函數(shù)y=x2-2x+2的頂點坐標是
A.(1，1) B.(2，2) C.(1，2) D.(1，3)
2.平面直角坐標系內(nèi)與點P(-2，3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是
A.(3，-2) B.(2，3) C.(2，-3) D.(-3，-3)
3.已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，則下列說法中錯誤的是
A.a確定拋物線的開口方向與大小
B.若將拋物線C沿y軸平移，則a，b的值不變
C.若將拋物線C沿x軸平移，則a的值不變
D.若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a、b、c的值全變
4.如圖，B，C是⊙O上兩點，且∠α=96°，A是⊙O上一個動點(不與B，C重合)，則∠A為
A.48° B.132° C.48°或132° D.96°
5.如圖，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
6.如圖，將半徑為6cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為
A. B. C. 2 D. 3
7.若二次函數(shù)y=mx2-4x+m有最大值-3，則m等于
A.m=4 B.m=-4 C.m=1 D.m=-1
8.在平面直角坐標系中，將點P(-3，2)繞點A(0，1)順時針旋轉(zhuǎn)90°，所得到的對應點P′的坐標為
A.(-1，-2) B.(3，-2) C.(1，4) D.(1，3)
9.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AC′B′，則CB′的長為
A. B. C.3 D.
10.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(0，3)，(x1，0)，其中，2
A.②③④ B.①②③ C.②④ D.②③
二、填空題(共6小題，每小題3分，共18分)
11.已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+c的圖象與x軸的一個交點為(-1，0)，則它與x軸的另一個交點
的坐標是 .
12.拋物線的部分圖象如圖所示，則當y>0時，x的取值范圍是_________________.
13.如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B'C，連接AA'，若∠1= 20°，則∠B的度數(shù)為 .
14.如圖，C是⊙O的弦BA延長線上一點，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，則AB的長為________.
15.如圖，正方形ABCD的邊長為4 cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，再過點A作半圓的切線，與半圓切于點F，與CD交于點E，則S梯形ABCE= cm2.
16.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC，若以EF為直徑作圓經(jīng)過AB上某點D，則EF長的取值范圍為 .
三、解答題(共8小題，共72分)
17.(5分)已知拋物線的頂點坐標是(-1，-4)，與y軸的交點是(0，-3)，求這個二次函數(shù)的解析式.
18.(8分)如圖所示，△ABC與點O在10×10
的網(wǎng)格中的位置如圖所示.
(1) 畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.
(2) 若⊙M能蓋住△ABC，則⊙M的半徑最小值為________.
19. (7分)河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋(如圖1)，
水面寬6m時，水面離橋孔頂部3m，因降暴雨水面上升1m.
(1)建立如下的坐標系，求暴雨后水面的寬;
(2)一艘裝滿物資的小船，露出水面部分高為0.5m、寬4m(橫斷面如圖2所示)，暴雨后
這艘船能從這座拱橋下通過嗎?(注：結(jié)果保留根號.)
圖1 圖2
20.(7分)已知y關(guān)于x二次函數(shù)y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點.
(1)求k的取值范圍;
(2)若x1，x2是關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=39，
求k的值.
21.(7分)如圖，臺風中心位于點A，并沿東北方向AC移動，已知臺風移動的速度為50
千米/時，受影響區(qū)域的半徑為130千米，B市位于點A的
北偏東75°方向上，距離A點240千米處.
(1)說明本次臺風會影響B(tài)市;
(2)求這次臺風影響B(tài)市的時間.
22.(8分)某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間定價120元時，房間會全部住滿，當每
個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓館需對每
個房間每天支出20元的各種費用，設(shè)每個房間定價為x元(x為整數(shù)).
(1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)解析式.
(2)設(shè)賓館每天的利潤為W元，當每間房價定價為多少元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是多少?
23.(8分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，D是⊙O上一點，且 ，CE⊥DA交DA的延長線于點E.
(1)求證：∠CAB=∠CAE;
(2)求證：CE是⊙O的切線;
(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半徑長.
24.(10分)如圖1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點D，E分別在CB，CA上，且CD=CE，連AD，BE，F(xiàn)為AD的中點，連CF.
(1)求證：CF=BE，且CF⊥BE;
(2)將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角(如圖2)，其它條件不變，此時(1)中的結(jié)論
是否仍成立?并證明你的結(jié)論.
25.(12分)如圖1，拋物線y=ax2+bx+c 的圖象與x軸交于A(-3，0)、B(1，0)兩點，與y軸交于點C，且OC=OA.
(1)求拋物線解析式;
(2)過直線AC上方的拋物線上一點M作y軸的平行線，與直線AC交于點N.已知M點
的橫坐標為m，試用含m的式子表示MN的長及△ACM的面積S，并求當MN的
長最大時S的值;
(3)如圖2，D(0，-2)，連接BD，將△OBD繞平面內(nèi)的某點(記為P)逆時針旋轉(zhuǎn)
180°得到△O′B′D′，O、B、D的對應點分別為O′、B′、D′.若點B′、D′兩點恰好落
在拋物線上，求旋轉(zhuǎn)中心點P的坐標.
九年級數(shù)學評分標準
1-10 A C D C B A B C B D
11、(-3，0);12、-1
17、y=(x+1)2-4
18、(1)略;(2)(以AC為直徑)
19、因為當水面寬AB=6m時,水面離橋孔頂部3m,所以點A的坐標是(3,-3).
把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a=.
把y=-2代入y=x2,得， .
解得， .
所以，點C、D的坐標分別為(,-2)、(-,-2),
CD=2.
答:水位上升1m時,水面寬約為2m.
(2)當x=2時，y=，
因為船上貨物最高點距拱頂1.5米，且||<1.5，所以這艘船能從橋下通過.
20、解：(1)∵y關(guān)于x二次函數(shù)y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點，
∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，
解得k≤;
(2)根據(jù)題意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，
∵x12+x22=39，
∴(x1+x2)2-2x1x2=39，
∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，
∵k≤，
∴k=-4.
21、解：(1)作BD⊥AC于點D.
在Rt△ABD中，由條件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，
∴BD=240×=120<130，
∴本次臺風會影響B(tài)市.
(2)如圖，以點B為圓心，以130為半徑作圓交AC于E，F(xiàn)，
若臺風中心移動到E時，臺風開始影響B(tài)市，臺風中心移動到F時，臺風影響結(jié)束.
由(1)得BD=240，由條件得BE=BF=130，
∴EF=2=100，
∴臺風影響的時間t==2(小時).
故B市受臺風影響的時間為2小時.
22、解：(1)y=50-=-0.1x+62;
(2)w=(x-20)(-0.1x+62)
=-0.1x2+64x-1240
=-0.1(x-320)2+9000，
∴當x=320時，w取得最大值，最大值為9000，
答：當每間房價定價為320元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是9000元.
23、證明：(1)∵，∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠CAE;
(2)連接OC
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°=∠AEC，
又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，
∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線.
(3)過點C作CF⊥AB于點F，
∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，
∴AE=AF，
在△CED和△CFB中，
，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
設(shè)AB=x，則AD=x-2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，
解得，x=5，
∴⊙O的半徑的長為2.5.
24、解：(1)在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，
∵F為AD中點，∠ACD=90°，
∴FC=AF=AD，
∴CF=BE，∠CAD=∠ACF，
∴∠CBE=∠ACF，
∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，
∴CF⊥BE;
(2)此時仍有CF=BE、CF⊥BE，
延長CF至G，使FG=CF，連接GA，
在△CDF和△GAF中，
∵，
∴△DFC≌△AFG(SAS)，
∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，
∴AG∥DC，AG=CE，
∴∠GAC+∠DCA=180°，
又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△BCE和△CAG中，
∵，
∴△BCE≌△CAG(SAS)，
∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，
∴CF=BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，
∴CF⊥BE.
解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x-1)，
將C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3.
(2)如圖1中，
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
∴直線AC解析式為y=x+3，OA=OC=3，
設(shè)M(m，-m2-2m+3)，則N(m，m+3)，
則MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3
，
MN=-m2-3m=-(m+)2+，
∵a=-1<0， -3
∴m=-時，MN最大，此時S=;
(3)如圖2中，旋轉(zhuǎn)180°后，對應線段互相平行且相等，則BD與B′D′互相平行且相等.
設(shè)B′(t，-t2-2t+3)，則D′(t+1，-t2-2t+3+2)
∵B′在拋物線上，則-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，
解得，t=，則B′的坐標為(，)，
P是點B和點B′的對稱中心，
∴P(，).
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