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九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題

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九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題

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  九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題:

  一、選擇題(本大題共8小題,每題只有一個正確選項,每小題3分,共24分)

  1.已知∠A為銳角且tanA= ,則∠A=(  )

  A.30° B.45° C.60° D.不能確定

  【考點】特殊角的三角函數(shù)值.

  【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.

  【解答】解:∵∠A為銳角,tanA= ,

  ∴∠A=60°.

  故選C.

  【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.

  2.一元二次方程x2=﹣2x的根是(  )

  A.x=2 B.x=﹣2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=﹣2

  【考點】解一元二次方程-因式分解法.

  【專題】計算題.

  【分析】先把方程化為一般式,然后利用因式分解法解方程.

  【解答】解:x2+2x=0,

  x(x+2)=0,

  x=0或x+2=0,

  所以x1=0,x2=﹣2.

  故選D.

  【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式,那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解,這樣也就把原方程進(jìn)行了降次,把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

  3.下列各點中,在函數(shù)y= 的圖象上的點是(  )

  A.(1,0.5) B.(2,﹣1) C.(﹣1,﹣2) D.(﹣2,1)

  【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

  【分析】需把所給點的橫縱坐標(biāo)相乘,結(jié)果是2的,就在此函數(shù)圖象上.

  【解答】解:∵反比例函數(shù)y= 中,k=2,

  ∴只需把各點橫縱坐標(biāo)相乘,結(jié)果為2的點在函數(shù)圖象上,

  四個選項中只有C選項符合.

  故選C.

  【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù).

  4.為估計某地區(qū)黃羊的只數(shù),先捕捉20只黃羊給它們分別作上標(biāo)志,然后放回,待有標(biāo)志的黃羊完全混合于黃羊群后,第二次捕捉60只黃羊,發(fā)現(xiàn)其中2只有標(biāo)志.由這些信息,我們可以估計該地區(qū)有黃羊(  )

  A.400只 B.600只 C.800只 D.1000只

  【考點】用樣本估計總體.

  【專題】應(yīng)用題.

  【分析】捕捉60只黃羊,發(fā)現(xiàn)其中2只有標(biāo)志.說明有標(biāo)記的占到 ,而有標(biāo)記的共有20只,根據(jù)所占比例解得.

  【解答】解:20 =600(只).

  故選:B.

  【點評】統(tǒng)計的思想就是用樣本的信息來估計總體的信息,本題體現(xiàn)了統(tǒng)計思想,考查了用樣本估計總體.

  5.△ABC內(nèi)接于⊙O,CD是⊙O的直徑,∠A=35°,則∠BCD的度數(shù)是(  )

  A.55° B.65° C.70° D.75°

  【考點】圓周角定理.

  【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠DBC、∠D的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.

  【解答】解:連接BD,

  ∵CD是⊙O的直徑,

  ∴∠DBC=90°,

  ∵∠A=35°,

  ∴∠D=∠A=35°,

  則∠BCD=90°﹣∠A=55°.

  故選:A.

  【點評】本題考查的是圓周角定理,掌握直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵.

  6.兩個相似三角形的對應(yīng)邊分別是15cm和23cm,它們的周長相差40cm,則這兩個三角形的周長分別是(  )

  A.75cm,115cm B.60cm,100cm C.85cm,125cm D.45cm,85cm

  【考點】相似三角形的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)題意兩個三角形的相似比是15:23,可得周長比為15:23,計算出周長相差8份及每份的長,可得兩三角形周長.

  【解答】解:根據(jù)題意兩個三角形的相似比是15:23,周長比就是15:23,

  大小周長相差8份,所以每份的周長是40÷8=5cm,

  所以兩個三角形的周長分別為5×15=75cm,5×23=115cm.故選A.

  【點評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解:

  (1)相似三角形周長的比等于相似比;

  (2)相似三角形面積的比等于相似比的平方;

  (3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

  7.用配方法將函數(shù)y= x2﹣2x+1寫成y=a(x﹣h)2+k的形式是(  )

  A.y= (x﹣2)2﹣1 B.y= (x﹣1)2﹣1 C.y= (x﹣2)2﹣3 D.y= (x﹣1)2﹣3

  【考點】二次函數(shù)的三種形式.

  【專題】配方法.

  【分析】利用配方法先提出二次項系數(shù),在加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式,把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式.

  【解答】解:y= x2﹣2x+1= (x2﹣4x+4)﹣2+1= (x﹣2)2﹣1

  故選A.

  【點評】二次函數(shù)的解析式有三種形式:

  (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù));

  (2)頂點式:y=a(x﹣h)2+k;

  (3)交點式(與x軸):y=a(x﹣x1)(x﹣x2).

  8.根據(jù)下列表格的對應(yīng)值:

  x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

  x2+5x﹣3 ﹣3.00 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3.00

  可得方程x2+5x﹣3=0一個解x的范圍是(  )

  A.0

  【考點】估算一元二次方程的近似解.

  【分析】由于x=0.50時,x2+5x﹣3=﹣0.25;x=0.75時,x2+5x﹣3=1.31,則在0.50和0.75之間有一個值能使x2+5x﹣3的值為0,于是可判斷方程x2+5x﹣3=0一個解x的范圍為0.50

  【解答】解:∵x=0.50時,x2+5x﹣3=﹣0.25;x=0.75時,x2+5x﹣3=1.31,

  ∴方程x2+5x﹣3=0一個解x的范圍為0.50

  故選C.

  【點評】本題考查了估算一元二次方程的近似解:用列舉法估算一元二次方程的近似解,具體方法是:給出一些未知數(shù)的值,計算方程兩邊結(jié)果,當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時,說明未知數(shù)的值愈接近方程的根.

  二、填空題(本大題共8小題,每小題3分,共24分)

  9.△ABC中,D、E分別為AB、AC的中點,則△ADE與△ABC的面積比為 1:4 .

  【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理.

  【分析】根據(jù)三角形的中位線得出DE= BC,DE∥BC,推出△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可.

  【解答】解:∵D、E分別為AB、AC的中點,

  ∴DE= BC,DE∥BC,

  ∴△ADE∽△ABC,

  ∴ =( )2= ,

  故答案為:1:4.

  【點評】本題考查了三角形的性質(zhì)和判定,三角形的中位線的應(yīng)用,注意:相似三角形的面積比等于相似比的平方.

  10.某家用電器經(jīng)過兩次降價,每臺零售價由1000元下降到810元.若兩次降價的百分率相同,則這個百分率為 10% .

  【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

  【專題】增長率問題.

  【分析】設(shè)家用電器平均每次降價的百分率為x,根據(jù)降價后的價格=降價前的價格(1﹣降價的百分率),則第一次降價后的價格是1000(1﹣x),第二次后的價格是1000(1﹣x)2,據(jù)此即可列方程求解.

  【解答】解:設(shè)這個百分率為x,根據(jù)題意得:

  1000×(1﹣x)2=810,

  解得:x1=0.1=10%或x2=﹣1.9(舍去),

  則這個百分率為10%.

  故答案為:10%.

  【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找到關(guān)鍵描述語,找出等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵.注意判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.

  11.某水果店一次購進(jìn)蘋果200箱,已經(jīng)賣出6箱,質(zhì)量分別是(單位:kg)15.5,16,14.5,13.5,15,15.5.你估計該商店這次進(jìn)貨 3000 kg.

  【考點】用樣本估計總體.

  【分析】首先求出6箱蘋果的平均質(zhì)量,然后利用樣本估計總體的思想就可以求出200箱蘋果的總質(zhì)量.

  【解答】解:抽取6箱蘋果的平均質(zhì)量為 =15千克,

  所以估計200箱蘋果的總質(zhì)量為200×15=3000千克.

  故答案為3000.

  【點評】此題考查了用樣本估計總體,首先利用平均數(shù)的計算公式求出抽取蘋果質(zhì)量的平均數(shù),然后利用樣本估計總體的思想求出所有蘋果的質(zhì)量.

  12.已知拋物線y=x2﹣4x+c與x軸只有一個交點,則c= 4 .

  【考點】拋物線與x軸的交點.

  【分析】利用拋物線與x軸只有一個交點,則b2﹣4ac=0進(jìn)而求出c的值即可.

  【解答】解:∵函數(shù)y=x2﹣4x+c拋物線與x軸只有一個交點,

  ∴b2﹣4ac=16﹣4c=0,

  解得:c=4,

  故答案為4.

  【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點,正確把握拋物線與x軸交點個數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵.

  13.將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個單位,在向上平移2個單位后,所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是 y=(x﹣1)2+2 .

  【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

  【分析】拋物線平移不改變a的值.

  【解答】解:原拋物線的頂點為(0,0),向右平移1個單位,在向上平移2個單位后,那么新拋物線的頂點為(1,2).可設(shè)新拋物線的解析式為:y=(x﹣h)2+k,代入得:y=(x﹣1)2+2.故所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是:y=(x﹣1)2+2.

  【點評】解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點坐標(biāo).

  14.已知梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1:4,坡高BC=2m,則斜坡AB的長為 2  m.

  【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

  【專題】推理填空題.

  【分析】根據(jù)梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1:4,坡高BC=2m,可以得到AC的長,然后根據(jù)勾股定理可以得到AB的長,從而可以解答本題.

  【解答】解:∵梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1:4,坡高BC=2m,

  ∴ ,

  ∴AC=8m,

  根據(jù)勾股定理,得

  AB= m.

  故答案為:2 .

  【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題,解題的關(guān)鍵是明確什么是坡度,根據(jù)坡度可以計算所求邊的長.

  15.一個圓錐的母線是15cm,側(cè)面積是75πcm2,這個圓錐底面半徑是 5 cm.

  【考點】圓錐的計算.

  【專題】計算題.

  【分析】設(shè)這個圓錐底面半徑為rcm,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式得到 •2π•r•15=75π,然后解方程求出r即可.

  【解答】解:設(shè)這個圓錐底面半徑為rcm,

  根據(jù)題意得 •2π•r•15=75π,解得r=5,

  即這個圓錐底面半徑是5cm.

  故答案為5.

  【點評】本題考查了圓錐的計算:圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長.

  16.在函數(shù)y= (k為常數(shù))的圖象上有三個點(﹣2,y1),(﹣1,y2),( ,y3),函數(shù)值y1,y2,y3的大小為 y3

  【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

  【分析】先判斷出函數(shù)圖象所在的象限,再根據(jù)其坐標(biāo)特點解答即可.

  【解答】解:∵﹣k2﹣2<0,∴函數(shù)應(yīng)在二四象限,若x1<0,x2>0,說明橫坐標(biāo)為﹣2,﹣1的點在第二象限,橫坐標(biāo)為 的在第四象限,∵第二象限的y值總比第四象限的點的y值大,∴那么y3最小,在第二象限內(nèi),y隨x的增大而增大,∴y1

  即y3

  【點評】在反比函數(shù)中,已知各點的橫坐標(biāo),比較縱坐標(biāo)的大小,首先應(yīng)區(qū)分各點是否在同一象限內(nèi).在同一象限內(nèi),按同一象限內(nèi)點的特點來比較,不在同一象限內(nèi),按坐標(biāo)系內(nèi)點的特點來比較.

  三、解答題(本題共9小題,共72分,解答題要求寫出證明步驟或解答過程)

  17.解方程:(x+2)2﹣10(x+2)=0.

  【考點】解一元二次方程-因式分解法.

  【專題】計算題;一次方程(組)及應(yīng)用.

  【分析】方程變形后,利用因式分解法求出解即可.

  【解答】解:方程分解得:(x+2﹣10)(x+2)=0,

  可得x﹣8=0或x+2=0,

  解得:x1=﹣2,x2=8.

  【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

  18.已知:∠1=∠2,AB•AC=AD•AE.

  求證:∠C=∠E.

  【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

  【專題】證明題.

  【分析】先根據(jù)AB•AC=AD•AE可得出 = ,再由∠1=∠2可得出△ABE∽△ADC,由相似三角形的對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論.

  【解答】證明:在△ABE和△ADC中,

  ∵AB•AC=AD•AE,

  ∴ =

  又∵∠1=∠2,

  ∴△ABE∽△ADC

  ∴∠C=∠E.

  【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

  19.某校準(zhǔn)備選出甲、乙兩人中的一人參加縣里的射擊比賽,他們在相同條件下各射靶5次,成績統(tǒng)計如下:

  命中環(huán)數(shù)/環(huán) 7 8 9 10

  甲命中的頻數(shù)/次 1 1 0 3

  乙命中的頻數(shù)/次 0 1 3 1

  (1)求甲、乙兩人射擊成績的方差分別是多少?

  (2)已知該校選手前三年都取得了縣射擊比賽的第一名,請問應(yīng)選擇誰去參加比賽?

  【考點】方差.

  【專題】計算題.

  【分析】(1)先計算出甲乙兩人的平均成績,然后根據(jù)方差公式計算他們的方差;

  (2)根據(jù)方差的意義判斷選擇誰去參加比賽.

  【解答】解:(1)甲的平均數(shù)為 =9(環(huán)),乙的平均數(shù)為 =9(環(huán)),

  所以甲的方差= [(7﹣9)2+(8﹣9)2+3(10﹣9)2]=1.6,

  乙的方差= [(8﹣9)2+3(9﹣9)2+(10﹣9)2]=0.4;

  (2)因為甲的方差比乙的方差大,

  所以乙的成績比較穩(wěn)定,應(yīng)選擇乙去參加比賽.

  【點評】本題考查了方差:一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù),叫做這組數(shù)據(jù)的方差,計算公式是:s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2];方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大,則平均值的離散程度越大,穩(wěn)定性也越小;反之,則它與其平均值的離散程度越小,穩(wěn)定性越好.

  20.⊙O是△ABC的外接圓,∠A=45°,BD是直徑,且BD=2,連接CD,求BC的長.

  【考點】圓周角定理;勾股定理;等腰直角三角形;銳角三角函數(shù)的定義.

  【分析】先根據(jù)圓周角定理可求出∠D=45°,∠BCD=90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知△BCD是等腰直角三角形,由銳角三角函數(shù)的定義即可求出BC的長.

  【解答】解:在⊙O中,∵∠A=45°,∠D=45°,

  ∵BD為⊙O的直徑,

  ∴∠BCD=90°,

  ∴△BCD是等腰直角三角形,

  ∴BC=BD•sin45°,

  ∵BD=2,

  ∴ .

  【點評】本題主要考查的是圓周角定理、等腰直角三角形的判定及銳角三角函數(shù)的定義,關(guān)鍵是求出△BCD是等腰直角三角形.

  21.已知:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB分別與x,y軸交于點B、A,與反比例函數(shù)的圖象分別交于點C、D,CE⊥x軸于點E,tan∠ABO= ,OB=8,OE=4.求該反比例函數(shù)的解析式.

  【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

  【分析】根據(jù)已知條件求出c點坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出反比例的函數(shù)解析式.

  【解答】解:∵OB=8,OE=4,

  ∴BE=4+8=12.

  ∵CE⊥x軸于點E.tan∠ABO= = .

  ∴CE=6.

  ∴點C的坐標(biāo)為C(﹣4,6).

  設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ,(m≠0)

  將點C的坐標(biāo)代入,得6= .

  ∴m=﹣24.

  ∴該反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ .

  【點評】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題.主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

  22.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測量祁陽縣文昌古塔BD的高度,他們先在A處測得古塔頂端點D的仰角為45°,再沿著BA的方向后退12米至C處,測得古塔頂端點D的仰角為30°.求該古塔BD的高度(結(jié)果保留根號).

  【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

  【分析】先根據(jù)題意得出∠BAD、∠BCD的度數(shù)及AC的長,再在Rt△ABD中可得出AB=BD,利用銳角三角函數(shù)的定義可得出BD的長.

  【解答】解:根據(jù)題意可知:

  ∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=12m.

  在Rt△ABD中,

  ∵∠BAD=∠BDA=45°,

  ∴AB=BD.

  在Rt△BDC中,

  ∵tan∠BCD= ,

  ∴ = ,

  則BC= BD,

  又∵BC﹣AB=AC,

  ∴ BD﹣BD=12,

  解得:BD=6 +6.

  答:古塔BD的高度為(6 +6)米.

  【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題,涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握以上知識是解答此題的關(guān)鍵.

  23.已知AB為⊙O的直徑,PA與⊙O相切于點A,線段OP與弦AC垂直并相交于點D,OP與⊙O相交于點E,連接BC.

  (1)求證:△PAD∽△ABC;

  (2)若PA=10,AD=6,求AB和PE的長.

  【考點】切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).

  【分析】(1)由PA為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到AP垂直于AB,可得出∠PAO為直角,得到∠PAD與∠DAO互余,再由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,可得出∠ACB為直角,得到∠DAO與∠B互余,根據(jù)同角的余角相等可得出∠PAC=∠B,再由一對直角相等,利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形APD與三角形ABC相似;

  (2)在直角三角形APD中,利用勾股定理求出PD的長,進(jìn)而確定出AC的長,由第一問兩三角形相似得到的比例式,將各自的值代入求出AB的上,求出半徑AO的長,在直角三角形APO中,由AP及AO的長,利用勾股定理求出OP的長,用OP﹣OE即可求出PE的長.

  【解答】(1)證明:∵PA是⊙O的切線,AB是直徑,

  ∴∠PAO=90°,∠C=90°,

  ∴∠PAC+∠BAC=90°,∠B+∠BAC=90°,

  ∴∠PAC=∠B,

  又∵OP⊥AC,

  ∴∠ADP=∠C=90°,

  ∴△PAD∽△ABC;

  (2)解:∵∠PAO=90°,PA=10,AD=6,

  ∴PD= =8,

  ∵OD⊥AC,

  ∴AD=DC=6,

  ∴AC=12,

  ∵△PAD∽△ABC,

  ∴ ,

  ∴ ,

  ∴AB=15,

  ∴OE= AB= ,

  ∵OP= = ,

  ∴PE=OP﹣OE= ﹣ =5.

  【點評】此題考查了切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,勾股定理,垂徑定理,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

  24.如圖所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點P從點A出發(fā),沿AB以4cm/s的速度向點B運動,同時點Q從C點出發(fā),沿CA以3cm/s的速度向點A運動,設(shè)運動時間為x秒.

  (1)當(dāng)x為何值時,BP=CQ;

  (2)以A、P、Q為頂點的三角形能否與以C、Q、B為頂點的三角形相似?若能,求出x的值;若不能,請說明理由.

  【考點】相似形綜合題.

  【專題】綜合題;圖形的相似.

  【分析】(1)根據(jù)題意表示出BP與CQ,由BP=CQ列出關(guān)于x的方程,求出方程的解即可得到x的值;

  (2)以A、P、Q為頂點的三角形能與以C、Q、B為頂點的三角形相似,分兩種情況考慮:①當(dāng)△APQ∽△CQB時;②當(dāng)△APQ∽△CBQ時,由相似得比例求出x的值即可.

  【解答】解:(1)依題意可得:BP=20﹣4x,CQ=3x,

  當(dāng)BP=CQ時,20﹣4x=3x,

  ∴x= (秒),

  答:當(dāng)x= 秒時,BP=CQ;

  (2)以A、P、Q為頂點的三角形能否與以C、Q、B為頂點的三角形相似,

 ?、佼?dāng)△APQ∽△CQB時,有 = ,即 = ,

  解得:x= (秒);

 ?、诋?dāng)△APQ∽△CBQ時,有 = ,即 = ,

  解得:x=5(秒)或x=﹣10(秒)(舍去),

  答:當(dāng)x= 或x=5秒時,△APQ與△CQB相似.

  【點評】此題屬于相似形綜合題,涉及的知識有:相似三角形的性質(zhì),一元一次方程的解法,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

  25.拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點,連接BC、BD.

  (1)點D的坐標(biāo)是 (1,4) ;

  (2)在拋物線的對稱軸上求一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,并求出此時點M的坐標(biāo).

  (3)若點P在x軸上且位于點B右側(cè),且點P是線段AQ的中點,連接QD,且∠BDQ=45°,求點P坐標(biāo)(請利用備用圖解決問題).

  【考點】二次函數(shù)綜合題.

  【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得拋物線的頂點坐標(biāo);

  (2)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,可得PA=PB,根據(jù)兩點之間線段最短,可得P在線段BC上,根據(jù)待定系數(shù)法,可得BC的解析式,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得答案;

  (3)根據(jù)勾股定理,可得BD的長,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得QN與BN的關(guān)系,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得DN與QN的關(guān)系,根據(jù)勾股定理,可得BQ的長,根據(jù)線段的和差,可得AQ的長,根據(jù)線段中點的性質(zhì),可得AP的長,根據(jù)線段的差,可得OP的長,可得P點坐標(biāo).

  【解答】解:(1)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

  頂點D的坐標(biāo)為(1,4);

  (2)如圖1 ,

  連結(jié)BC,交對稱軸于點M,此時M為所求點,使得MA+MC達(dá)到最小值.

  當(dāng)x=0時,y=3.

  ∴C(0,3).

  當(dāng)y=0時,﹣x2+2x+3=0,

  解得:x1=﹣1,x2=3,

  ∴B(3,0).

  設(shè)BC所在直線的解析式為:y=kx+3,將B點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得

  3k+3=0,

  ∴k=﹣1,

  ∴BC所在直線的解析式為:y=﹣x+3,

  當(dāng)x=1時,y=2;

  ∴M(1,2);

  (3)如圖2 ,

  連接QD,作QN⊥DB,交DB的延長線于N,

  設(shè)對稱軸與x軸的交點為點H.

  ∵點D坐標(biāo)是(1,4)

  ∴點H坐標(biāo)是(1,0)

  ∴DH=4,BH=2,

  ∴在Rt△BDH中,BD= =2

  又∵∠QNB=∠DHB,∠QBN=∠DBH,

  ∴△QBN∽△DBH,

  ∴ = ,

  ∴ = = =2,

  ∴QN=2BN.

  又∵∠BDQ=45°,

  ∴在Rt△DNQ中,∠DQN=45°,

  ∴DN=QN=2BN,

  ∴BN=BD=2 ,

  ∴QN=4 .

  ∴在Rt△QBN中,BQ= =10.

  ∵AB=4,

  ∴AQ=AB+BQ=14.

  ∴AP= AQ=7

  OP=AP﹣AO=7﹣1=6,

  ∴P(6,0).

  【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用配方法得出頂點坐標(biāo);利用線段垂直平分線的性質(zhì),線段的性質(zhì)得出P點的位置是解題關(guān)鍵;利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BQ與BQ的關(guān)系是解題關(guān)鍵,又利用了等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN的長,利用勾股定理得出BQ的長.


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