2017南寧數(shù)學(xué)中考模擬試卷及答案(2)
16.如圖，在小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，根據(jù)圖形解答下列問(wèn)題：
(1)將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，畫(huà)出平移后的△A1B1C1;
(2)將△DEF繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△DE1F1.
【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換;作圖﹣平移變換.
【分析】(1)根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫(huà)出平移后的△A1B1C1即可;
(2)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△DE1F1即可.
【解答】解(1)如圖所示：△A1B1C1即為所求;
(2)如圖所示：△DE1F1即為所求;
四、(共2小題，滿分16分)
17.某條道路上通行車輛限速為60千米/時(shí)，在離道路50米的點(diǎn)P處建一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，道路AB段為檢測(cè)區(qū)(如圖).在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么車輛通過(guò)AB段的時(shí)間在多少秒以內(nèi)時(shí)，可認(rèn)定為超速(精確到0.1秒)?(參考數(shù)據(jù)： ≈1.41， ≈1.73，60千米/時(shí)= 米/秒)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】作PC⊥AB于點(diǎn)C，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC與BC的長(zhǎng)，則AB即可求得，用AB的長(zhǎng)除以速度即可求解.
【解答】解：作PC⊥AB于點(diǎn)C.
在直角△APC中，tan∠PAC= ，
則AC= =50 ≈86.5(米)，
同理，BC= =PC=50(米)，
則AB=AC+BC≈136.5(米)，
60千米/時(shí)= 米/秒，
則136.5÷ ≈8.2(秒).
故車輛通過(guò)AB段的時(shí)間在8.2秒內(nèi)時(shí)，可認(rèn)定為超速.
18.如圖，我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知點(diǎn)A、B、C、D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，AB為半圓的直徑，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，求這個(gè)“果圓”被y軸截得線段CD的長(zhǎng) 3+ .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】將x=0代入拋物線的解析式得y=﹣3，故此可得到DO的長(zhǎng)，然后令y=0可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，故此可得到AB的長(zhǎng)，由M為圓心可得到MC和OM的長(zhǎng)，然后依據(jù)勾股定理可求得OC的長(zhǎng)，最后依據(jù)CD=OC+OD求解即可.
【解答】解：連接AC，BC.
∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，﹣3)，
∴OD的長(zhǎng)為3.
設(shè)y=0，則0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0).
∴AO=1，BO=3，AB=4，M(1，0).
∴MC=2，OM=1.
在Rt△COB中，OC= = .
∴CD=CO+OD=3+ ，即這個(gè)“果圓”被y軸截得的線段CD的長(zhǎng)3+ .
故答案為：3+ .
五、(共2小題，滿分20分)
19.某電視臺(tái)在它的娛樂(lè)性節(jié)目中每期抽出兩名場(chǎng)外幸運(yùn)觀眾，有一期甲、乙兩人被抽為場(chǎng)外幸運(yùn)觀眾，他們獲得了一次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，在如圖所示的翻獎(jiǎng)牌的正面4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，選中后翻開(kāi)，可以得到該數(shù)字反面的獎(jiǎng)品，第一個(gè)人選中的數(shù)字第二個(gè)人不能再選擇了.
(1)如果甲先抽獎(jiǎng)，那么甲獲得“手機(jī)”的概率是多少?
(2)小亮同學(xué)說(shuō)：甲先抽獎(jiǎng)，乙后抽獎(jiǎng)，甲、乙兩人獲得“手機(jī)”的概率不同，且甲獲得“手機(jī)”的概率更大些.你同意小亮同學(xué)的說(shuō)法嗎?為什么?請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖分析.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】(1)一共有4種情況，手機(jī)有一種，除以總情況數(shù)即為所求概率;
(2)列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可.
【解答】解：(1)第一位抽獎(jiǎng)的同學(xué)抽中手機(jī)的概率是 ;
(2)不同意.
從樹(shù)狀圖中可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共12種，而且這些情況都是等可能的.
先抽取的人抽中手機(jī)的概率是 ;
后抽取的人抽中手機(jī)的概率是 = .
所以，甲、乙兩位同學(xué)抽中手機(jī)的機(jī)會(huì)是相等的.
20.某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬(wàn)元，可變成本逐年增長(zhǎng)，已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬(wàn)元，設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為x.
(1)用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為 2.6(1+x)2 萬(wàn)元;
(2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬(wàn)元，求可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率x.
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題由第1年的可變成本為2.6萬(wàn)元就可以表示出第二年的可變成本為2.6(1+x)，則第三年的可變成本為2.6(1+x)2，故得出答案;
(2)根據(jù)養(yǎng)殖成本=固定成本+可變成本建立方程求出其解即可
【解答】解：(1)由題意，得
第3年的可變成本為：2.6(1+x)2，
故答案為：2.6(1+x)2;
(2)由題意，得
4+2.6(1+x)2=7.146，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1(不合題意，舍去).
答：可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%.
六、(滿分12分)
21.如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且∠ACD=∠DAB=∠DBC.
(1)求∠CDB的度數(shù);
(2)求證：△DCA∽△DAB;
(3)若CD的長(zhǎng)為1，求AB的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】(1)只要證明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解決問(wèn)題.
(2)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似即可判定.
(3)由△DCA∽△DAB，推出 = = = ，又CD=1，推出AD= ，DB=2.根據(jù)BC= ，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解決問(wèn)題.
【解答】(1)解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°.
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°.
(2)證明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB
(3)解：∵△DCA∽△DAB，
∴ = = = ，
又∵CD=1，
∴AD= ，DB=2.
又∵∠CDB=90°，
∴BC= = = ，
在Rt△ABC中，∵AC=BC= ，
∴AB= = .
七、(滿分12分)
22.2016年里約奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)跳水隊(duì)贏得8個(gè)項(xiàng)目中的7塊金牌，優(yōu)秀成績(jī)的取得離不開(kāi)艱辛的訓(xùn)練.某跳水運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時(shí)，身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板AB長(zhǎng)為2米，跳板距水面CD的高BC為3米，訓(xùn)練時(shí)跳水曲線在離起跳點(diǎn)水平距離1米時(shí)達(dá)到距水面最大高度k米，現(xiàn)以CD為橫軸，CB為縱軸建立直角坐標(biāo)系.
(1)當(dāng)k=4時(shí)，求這條拋物線的解析式;
(2)當(dāng)k=4時(shí)，求運(yùn)動(dòng)員落水點(diǎn)與點(diǎn)C的距離;
(3)圖中CE= 米，CF= 米，若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)(含點(diǎn)E，F(xiàn))入水時(shí)才能達(dá)到訓(xùn)練要求，求k的取值范圍.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)M(3，4)，可設(shè)拋物線解析為：y=a(x﹣3)2+4，將點(diǎn)A(2，3)代入可得;
(2)在(1)中函數(shù)解析式中令y=0，求出x即可;
(3)若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)(含點(diǎn)E，F(xiàn))入水達(dá)到訓(xùn)練要求，則在函數(shù)y=a(x﹣3)2+k中當(dāng)x= 米，y>0，當(dāng)x= 米時(shí)y<0，解不等式即可得.
【解答】解：(1)如圖所示：
根據(jù)題意，可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)M(3，4)，A(2，3)
設(shè)拋物線解析為：y=a(x﹣3)2+4，
則3=a(2﹣3)2+4，
解得：a=﹣1，
故拋物線解析式為：y=﹣(x﹣3)2+4;
(2)由題意可得：當(dāng)y=0，則0=﹣(x﹣3)2+4，
解得：x1=1，x2=5，
故拋物線與x軸交點(diǎn)為：(5，0)，
當(dāng)k=4時(shí)，求運(yùn)動(dòng)員落水點(diǎn)與點(diǎn)C的距離為5米;
(3)根據(jù)題意，拋物線解析式為：y=a(x﹣3)2+k，
將點(diǎn)A(2，3)代入可得：a+k=3，即a=3﹣k
若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)(含點(diǎn)E，F(xiàn))入水，
則當(dāng)x= 時(shí)，y= a+k≥0，即 (3﹣k)+k≥0，
解得：k≤ ，
當(dāng)x= 時(shí)，y= a+k≤0，即 (3﹣k)+k≤0，
解得：k≥ ，
故 ≤k≤ .
八、(滿分14分)
23.[發(fā)現(xiàn)]如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上(如圖①)
[思考]如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(點(diǎn)C，D在AB的同側(cè))，那么點(diǎn)D還在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O上嗎?
我們知道，如果點(diǎn)D不在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上，那么點(diǎn)D要么在⊙O外，要么在⊙O內(nèi)，以下該同學(xué)的想法說(shuō)明了點(diǎn)D不在⊙O外.請(qǐng)結(jié)合圖④證明點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi).
【證】
[結(jié)論]綜上可得結(jié)論，如果∠ACB=∠ADB=α(點(diǎn)C，D在AB的同側(cè))，那么點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上，即：A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
[應(yīng)用]利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：
如圖⑤，已知△ABC中，∠C=90°，將△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(α為銳角)得△ADE，連接BE、CD，延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)F;
(1)用含α的代數(shù)式表示∠ACD的度數(shù);
(2)求證：點(diǎn)B、C、A、F四點(diǎn)共圓;
(3)求證：點(diǎn)F為BE的中點(diǎn).
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【分析】【思考】【證】如圖1，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠ADB>∠AEB，于是得到∠ADB>∠ACB，于是得到結(jié)論;
【應(yīng)用】(1)由題意可知，AC=AD，∠CAD=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠ACD=90°﹣ ;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABE=90°﹣ α，同時(shí)代的∠ACD=∠ABE，即可得到結(jié)論;
(3)由B、C、A、F四點(diǎn)共圓，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】【思考】【證】如圖1，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB>∠AEB，
∴∠ADB>∠ACB，
因此，∠ADB>∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi)，
∴點(diǎn)D即不在⊙O內(nèi)，也不在⊙O外，點(diǎn)D在⊙O上;
【應(yīng)用】(1)由題意可知，AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ACD=90°﹣ ;
(2)∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°﹣ α，∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四點(diǎn)共圓;
(3)∵B、C、A、F四點(diǎn)共圓，
∴∠BFA+∠BCA=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
即點(diǎn)F為BE的中點(diǎn).
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