等比級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)與概率計(jì)算中的應(yīng)用論文
冪級(jí)數(shù)是函數(shù)級(jí)數(shù)中的一類(lèi)重要級(jí)數(shù)。而等比級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一,在函數(shù)的冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)以及概率的某些計(jì)算中起著重要的作用。以下是學(xué)習(xí)啦小編今天為大家精心準(zhǔn)備的：等比級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)與概率計(jì)算中的應(yīng)用相關(guān)論文。內(nèi)容僅供參考，歡迎閱讀!
等比級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)與概率計(jì)算中的應(yīng)用全文如下：
摘 要：等比級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一，在函數(shù)的冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)以及概率的某些計(jì)算中起著重要的作用。介紹了利用等比級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)以及概率計(jì)算的常見(jiàn)情形，并給出了具體的例子。
關(guān)鍵詞：等比級(jí)數(shù);冪級(jí)數(shù);概率計(jì)算
等比級(jí)數(shù)是收斂級(jí)數(shù)中最著名的一個(gè)級(jí)數(shù)。阿貝爾曾經(jīng)指出“除了幾何級(jí)數(shù)之外，數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已被嚴(yán)格確定的無(wú)窮級(jí)數(shù)”。等比級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)速度令人震驚，有一個(gè)關(guān)于古波斯國(guó)王的傳說(shuō)，他對(duì)一種新近發(fā)明的象棋游戲留下深刻印象，以至于他要召見(jiàn)那個(gè)發(fā)明人而且以皇宮的財(cái)富相贈(zèng)。當(dāng)這個(gè)發(fā)明人――一個(gè)貧困但卻十分精通數(shù)學(xué)的農(nóng)民――被國(guó)王召見(jiàn)時(shí)，他只要求在棋盤(pán)的第一個(gè)方格里放一粒麥粒，第二個(gè)方格里放兩粒麥粒，第三個(gè)方格里放四里麥粒，如此繼續(xù)下去，直到整個(gè)棋盤(pán)都被覆蓋上為止。
國(guó)王被這種樸素的要求所震驚，他立即命令拿來(lái)一袋小麥，他的仆人們開(kāi)始耐心地在棋盤(pán)上放置麥粒，令他們十分吃驚的是，他們很快就發(fā)現(xiàn)袋子里的麥粒甚至整個(gè)王國(guó)的麥粒也不足以完成這項(xiàng)任務(wù)，因?yàn)榧?jí)數(shù)1，2，22，23，24，…的第64項(xiàng)是一個(gè)十分大的一個(gè)數(shù)：263=9223372036854775808.如果我們?cè)O(shè)法把如此多的麥粒――假設(shè)每個(gè)麥粒直徑僅一毫米――放在一條在直線上，這條線將長(zhǎng)約兩光年。
等比級(jí)數(shù)雖然是一個(gè)重要級(jí)數(shù)，但筆者多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在直接應(yīng)用級(jí)數(shù)時(shí)還可以，但應(yīng)用到冪級(jí)數(shù)就不能把變量x看做常數(shù)，看不出兩者關(guān)系。同時(shí)，在概率中涉及到很多計(jì)算，這其中有很多是跟等比級(jí)數(shù)有關(guān)，學(xué)生缺乏這種把知識(shí)融會(huì)貫通的能力;而在以往的教學(xué)中，有些教師對(duì)這個(gè)重視不夠，而有的老師只是單獨(dú)專(zhuān)注于自己的學(xué)科(微積分或概率)?；谶@種情況下，筆者通過(guò)典型例題，闡述它們的關(guān)系，使學(xué)生達(dá)到活學(xué)活用。
等比級(jí)數(shù)又稱(chēng)為幾何級(jí)數(shù)，∑
SymboleB@ n=0aqn=a+aq+aq2+…+aqn+…(a≠0)。
若q<1，有l(wèi)imn→
SymboleB@ sn不存在。綜上所述，當(dāng)q<1時(shí)，等比級(jí)數(shù)收斂，且a+aq+aq2+…+aqn+…=a1-q。
1 等比級(jí)數(shù)線性運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用
例1：把一個(gè)球從a米高下落到地平面上，球每次落下距離h碰到地平面再跳起距離rh，其中r是小于1的正數(shù)，求這個(gè)球上下的總距離。
解：總距離是 s=a+2ar+2ar2+2ar3+…=a+2ar1-r=a(1+r)1-r。
若a=6，r=2/3，則總距離是s=a(1+r)1-r=6(1+2/3)1-2/3=30(米)。
例2：把循環(huán)小數(shù)5.232323…表示成兩個(gè)整數(shù)之比。
解：5.232323…=5+23100+231002+231003+…
=5+23100(1+1100+11002+…)
=5+23100・10.99=51899
例3：求級(jí)數(shù)∑
SymboleB@ )。
在收斂域(-1，1)內(nèi)，有：
1+x+x2+x3+…+xn+…=11-x
例5：求級(jí)數(shù)11.3+12.32+13.33+14.34+…+1n.33+…的和。
解：所求級(jí)數(shù)的和是冪級(jí)數(shù)∑
SymboleB@ n=1xn-1=11-xx∈(-1，1)，兩邊積分，得：
∫x0s'(x)dx=∫x011-xdx=-ln(1-x)，即s(x)-s(0)=-ln(1-x)。
又因s(0)=0，所以s(x)=-ln(1-x)，故所求原級(jí)數(shù)的和為：
s(13)=-ln(1-13)=ln32
注：1+x+x2+x3+…+xn+…=11-x，x∈(-1，1)，和s′(x)=∑
SymboleB@ i=1P{X=i}=p+p2+p3+…=1，而由等比級(jí)數(shù)性質(zhì)知上式為p1-p=1，解得p=12。
例7：已知某自動(dòng)生產(chǎn)線一旦出現(xiàn)不合格品就立即進(jìn)行調(diào)整，經(jīng)過(guò)調(diào)整后生產(chǎn)出的產(chǎn)品為不合格品的概率是0.1，如果用X表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)，則求EX。
解：X是離散型隨機(jī)變量，可能的取值為1，2，3，…
P{X=k}=P{調(diào)整后生產(chǎn)出的產(chǎn)品前k-1格為合格品，第k個(gè)為不合格品}
=P{A1…Ak-1Ak}，
其中Ai=“第i個(gè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品為合格品”，Ai相互獨(dú)立。
P(Ai)=0.9，P{X=k}=0.9k-1×0.1
EX=SymboleB@ k=1xk)′=0.1×(x1-x)′=0.1(1-x)2
把0.9回代，則EX=0.1(1-0.9)2=10。
綜上所述，學(xué)生在應(yīng)用等比級(jí)數(shù)時(shí)要能“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，利用好這個(gè)級(jí)數(shù)，對(duì)我們求冪函數(shù)的和以及好多概率計(jì)算起到非常重要的作用。
參考文獻(xiàn)：
[1]吳贛昌.微積分(經(jīng)濟(jì)類(lèi))[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2012：265266.
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